泊松回归

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统计学上,泊松回归英语:Poisson regression)是用来为计数资料列联表建模的一种回归分析。泊松回归假设反应变量Y是泊松分布,并假设它期望值对数可由一组未知参数进行线性表达。当其用于列联表分析时,泊松回归模型也被称作对数-线性模型。

泊松回归模型是广义线性模型(Generalized Linear Model)的一种,以对数变化作为连接函数(canonical function),该模型的假设之一是其被解释变量服从泊松分布。

泊松回归模型[编辑]

代表由一组相互独立的变量组成的向量,其泊松回归的模型形式为:

.


亦可简洁表示为:

此处, 是 n+1维的向量,由n个独立变量(自变量向量)一个常向量(元素取值全为1)构成,用一个θ 代表第一个表达式当中的 αβ

因此,当已知泊松回归模型当中的 θ和解释变量 , 其满足泊松分布的被解释变量的期望值可以由下式来预测:

Yi 是被解释变量的观测值,相应的解释变量为 xi ,可由极大似然估计(Maximum Likelihood estimation)的方法来估计参数θ。 极大似然估计不能通过解析表达式获得解析解,是由其对数似然函数为凸函数的特性,可通过Newton–Raphson 或其他基于梯度下降的思想方法来进行参数估计。

极大似然估计[编辑]

如上所述,已知泊松回归模型当中的 θ和解释变量 , 其回归表达式为:

,


泊松分布的概率密度函数为:

现已知解释变量的观测值为由 m个向量组成 , 对应 m 个被解释变量的观测值,. 若同时已知θ, 则该组观测值所对应的联合概率可由下式表达:



极大似然方法估计 θ的核心思想是,去找到能使得基于当前观测值的联合概率尽可能达到最大的θ。(可理解为:变量的取值当前观测值,与取值为其他任何数值相比,是发生概率最高的事件)。 既然目标是寻找到最优的θ,可以先将上式的等号左边简单表达为关于θ 的表达式:


.


注意等号右边的表达式并未改写,但通常难于付诸计算,因而采用其对数变化后的表达式( log-likelihood)即:


.


由于 θ 仅出现在似然函数的前两项,因而在极大化似然函数的运算过程中,可以只考虑前两项。可以删去第三项yi!,待优化的似然函数可以简洁表达为:


.


为了找到极大值,需要求解方程:


可以通过对其似然函数取负值 (negative log-likelihood), 是一个凸函数, 标准的凸优化方法可以考虑来求解 θ的最优值。统一的方法是Newton-Raphson 与Iterative Weighted Least Square(IWLS)算法。 给θ一组初始值,IWLS 是通过多次迭代更新直到θ收敛。


泊松回归的应用[编辑]

泊松回归常用于被解释变量为计数(Count)形式时,包括事件发生的次数,比如:客服中心接到的电话次数。其满足相互独立的假设。在此例子中,即为:拨打客服电话的人们之间不存在相互关联。不会因为甲拨打了客服,而影响乙拨打的可能性。但在建模时,需要考虑统计该事件发生的时期,比如目标变量统计的是一天接到的电话次数,还是一个星期,或者一个月。这个时期的数据作为回归模型中的抵消值,在下面解释。


"曝光量"(Exposure) 与 偏移量 (trade off)[编辑]

泊松分布也可以适用于比率数据,即事件发生次数与其测量时间或测量范围的比值。比如生物学家测量某森林中树木种类的数目, 比率变量即为每平方千米的树木种类数。人口学家关注的是每个人口年(person-year)的人口死亡数。通常来说,比率变量表达的是单位时间内该事件发生的次数。这些例子中,平方米”,“人口年”这些变量就是所谓的"曝光量"(Exposure)。泊松回归中将其视为偏移量放在等式右边。


which implies

在R中运行广义线性模型时,可用offset()来指定表示“曝光量”的变量:

glm(y ~ offset(log(exposure)) + x, family=poisson(link=log) )

过度离势和零膨胀[编辑]

服从泊松分布的变量,具有期望与方差相等的特征。若观测样本的方差远大于期望值的时,则认为存在过度离势,当前的模型不合理。其常见的原因是缺失重要的解释变量。解决该问题的方法,通常采用准似然估计(quasi-likelihood) 或者负二项分布(negative binomial distribution)来估计。[1][2]


泊松回归的另一个常见的问题是零膨胀zero-inflated model。标准的泊松分布其定义域为非负整数,被解释变量y取值为0的概率为:


但如果观测样本中添加大量的0,则取值为0的频率远大于理论概率,此时不适宜直接采用泊松回归。比如观测一组人在一小时内的吸烟情况,目标变量是每人吸了多少根烟。但当观测人群中有大量的非吸烟者,就会有过多的目标变量为0, 这就是零膨胀。可以采用其他的广义线性模型,比如负二项分布negative binomial来建模,或者零膨胀模型zero-inflated model 来解决。


参考来源[编辑]

翻译自: https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_regression

  1. ^ Paternoster R, Brame R. Multiple routes to delinquency? A test of developmental and general theories of crime. Criminology. 1997, 35: 45–84. doi:10.1111/j.1745-9125.1997.tb00870.x. 
  2. ^ Berk R, MacDonald J. Overdispersion and Poisson regression (PDF). Journal of Quantitative Criminology. 2008, 24 (3): 269–284. doi:10.1007/s10940-008-9048-4.