在統計學 中，峰度 （Kurtosis）衡量實數 隨機變量 概率分布 的峰態。峰度高就意味著方差 增大是由低頻度的大於或小於平均值 的極端差值引起的。
遠紅光對
小麥 胚芽鞘 向地反應 的平均速度沒有影響，但是峰度由低峰態轉變成了尖峰態 (−0.194 → 0.055)
四階標準矩 可以定義為：
μ
4
σ
4
,
{\displaystyle {\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}},\!}
其中μ4 是四階中心矩 ，σ是標準差 。
在更通常的情況下，峰度被定義為四階累積量 除以二階累積量的平方，它等於四階中心矩除以概率分布 方差的平方再減去3：
γ
2
=
κ
4
κ
2
2
=
μ
4
σ
4
−
3
{\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\kappa _{4}}{\kappa _{2}^{2}}}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}
這也被稱為超值峰度（excess kurtosis）。「減3」是為了讓正態分布 的峰度為0。
假定Y 為n 個獨立變量之和，且這些變量和X 具有相同的分布，那麽：Kurt[Y ] = Kurt[X ] / n ， 但如果峰度被定義為：μ4 / σ4 ，公式可變得更加複雜。
更一般地說，假定X 1 , ..., X n
Kurt
(
∑
i
=
1
n
X
i
)
=
1
n
2
∑
i
=
1
n
Kurt
(
X
i
)
,
{\displaystyle \operatorname {Kurt} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={1 \over n^{2}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Kurt} (X_{i}),}
而定義中如果不包含「減3」就無法成立。
如果超值峰度為正，稱為尖峰態（leptokurtic）。如果超值峰度為負，稱為低峰態（platykurtic）。
樣本峰度 [ 编辑 ] 對於具有n 個值的樣本 ，樣本峰度 為：
g
2
=
m
4
m
2
2
−
3
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
4
(
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
)
2
−
3
{\displaystyle g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{4}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{2}}}-3}
其中m 4 是四階樣本中心矩，m 2 是二階中心矩（即使樣本方差 ），x i i th 個值，
x
¯
{\displaystyle {\overline {x}}}
樣本平均值 。注意此处计算方差的时候除数是N，而不是单独计算样本方差的(N-1)。
有時候也使用公式：
D
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
{\displaystyle D={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}
E
=
1
n
D
2
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
4
−
3
{\displaystyle E={1 \over nD^{2}}\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}-3}
其中，n為樣本大小，D 為事先計算的方差，xi 為第i個測量值，
x
¯
{\displaystyle {\bar {x}}}
算術平均數 。
在一些统计软件中，其公式有所差别。如EXCEL，计算样本的峰度公式如下：
Kurtosis
=
n
(
n
+
1
)
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
StDev
)
4
−
3
(
n
−
1
)
2
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
{\displaystyle {\text{Kurtosis}}={n(n+1) \over (n-1)(n-2)(n-3)}\sum _{i=1}^{n}({x_{i}-{\bar {x}} \over {\text{StDev}}})^{4}-{3(n-1)^{2} \over (n-2)(n-3)}}
參考資料 [ 编辑 ] 
