随机变量

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給定樣本空间(S , \mathbb{F}),如果其上的實值函數 X:S \to \mathbb{R}\mathbb{F} (實值)可測函數,则稱X為(實值)随机变量初等概率論中通常不涉及到可測性的概念,而直接把任何X:S \to \mathbb{R}的函數稱為随机变量。

如果X指定给概率空间S中每一个事件e一个实数X(e),同时针对每一个实数r都有一个事件集合A_r与其相对应,其中A_r= { e : X(e)r},那么X被称作随机变量。随机变量一般用大写拉丁字母或小写希腊字母( 比如X, Y, Z, \xi, \eta)来表示,从上面的定义注意到,随机变量实质上是函数,不能把它的定义与变量的定义相混淆,另外概率函数P并没有在考虑之中。

实数坐标轴上的随机变量示意图

例如,随机掷两个骰子,整个事件空间可以由36个元素组成:

S = \lbrace ( i, j ) | i=1, \ldots, 6,; j=1, \ldots,6 \rbrace

这里可以构成多个随机变量,比如随机变量X ( 获得的两个骰子的点数和)或者随机变量Y( 获得的两个骰子的点数差),随机变量X可以有11个整数值,而随机变量Y只有6个。

X ( i, j ) := i+j ,  x=2,3,\ldots,12
Y ( i, j ) := \mid i-j \mid ,  y=0,1,2,3,4,5.

又比如,在一次扔硬币事件中,如果把获得的背面的次数作为随机变量X,则X可以取两个值,分别是0和1。

如果随机变量X的取值是有限的或者是可数无穷尽的值

X = \lbrace x_1, x_2, x_3, \ldots, \rbrace,

则称X离散随机变量。如果X由全部实数或者由一部分区间组成,

X = \lbrace x | a\le x \le b \rbrace, - \infty < a < b < \infty

则称X连续随机变量,连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。

參見[编辑]