# 条件独立

## 定義

RB在给定Y发生时条件独立，用概率论的标准记号表示为

${\displaystyle \Pr(R\cap B\mid Y)=\Pr(R\mid Y)\Pr(B\mid Y)\,}$

${\displaystyle \Pr(R\mid B\cap Y)=\Pr(R\mid Y).\,}$

## 法则

### 對稱性

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\quad \Rightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X}$

### 分解

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ and }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\\X\perp \!\!\!\perp B\end{cases}}}$

• ${\displaystyle p_{X,A,B}(x,a,b)=p_{X}(x)p_{A,B}(a,b)}$      (${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A,B}$的定义)
• ${\displaystyle \int _{B}\!p_{X,A,B}(x,a,b)=\int _{B}\!p_{X}(x)p_{A,B}(a,b)}$      (对B积分以消去B)
• ${\displaystyle p_{X,A}(x,a)=p_{X}(x)p_{A}(a)}$

### 微弱的聯合

${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ and }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\mid A\end{cases}}}$

• 藉由定義${\displaystyle \Pr(X)=\Pr(X\mid A,B)}$
• 由於分解的屬性${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp B}$, ${\displaystyle \Pr(X)=\Pr(X\mid B)}$
• 結合兩個等式得${\displaystyle \Pr(X\mid B)=\Pr(X\mid A,B)}$，其中確認 ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A\mid B}$第二個條件可以類似地被證明。

## 註釋

1. ^ 这个等式证明如下：Pr(RB | Y)是RBY中的重合部分（用紫色表示）面积占Y面积的比值。左图中，有两个RB重合的方格位于Y内，而Y有12个方格，所以Pr(RB | Y) = 2/12 = 1/6。同理，Pr(R | Y) = 4/12 = 1/3，Pr(B | Y) = 6/12 = 1/2

## 參考資料

1. ^ Dawid, A. P. Conditional Independence in Statistical Theory. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1979, 41 (1): 1–31. JSTOR 2984718. MR 0535541.
2. ^ J Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2000, Cambridge University Press