在概率论和统计学中,两事件R 和B 在给定的另一事件Y 发生时条件独立,类似于统计独立性,就是指当事件Y 发生时,R 发生与否和B 发生与否就条件概率分布而言是独立的。换句话讲,R 和B 在给定Y 发生时条件独立,当且仅当已知Y 发生时,知道R 发生与否无助于知道B 发生与否,同样知道B 发生与否也无助于知道R 发生与否。
两个说明条件独立的例子。每个小方格都表示一种等概率的可能结果。事件R、B、Y分别用红色、蓝色、黄色阴影部分表示。事件R和B的重叠部分用紫色表示。这些事件发生的概率等于相应阴影部分面积和图形总面积的比值。在这两个例子中,事件R和B在给定Y时都是条件独立的,这是因为
[注 1]
但给定Y不发生时,它们不是条件独立的,这是因为 :
R和B在给定Y发生时条件独立,用概率论的标准记号表示为
![{\displaystyle \Pr(R\cap B\mid Y)=\Pr(R\mid Y)\Pr(B\mid Y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa48f926b4605f162bbf49edabb3300b2c2f78d3)
也可以等价地表示为
![{\displaystyle \Pr(R\mid B\cap Y)=\Pr(R\mid Y).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fe5e0102beb65ab5347171166afa9f829e12b3)
因为当事件Y发生时,R发生与否和B发生与否就条件概率分布而言是独立的。
两个随机变量X和Y在给定第三个随机变量Z的情况下条件独立当且仅当它们在给定Z时的条件概率分布互相独立,也就是说,给定Z的任一值,X的概率分布和Y的值无关,Y的概率分布也和X的值无关。
从基本定义可导出一套描述条件独立的重要法则。[1][2]
因这些推论在任何概率空间中都成立,因此也对所有变量关于另一变量的条件概率分布成立,只需考虑相应子空间即可。譬如说
也就意味着
。
注:位于算式下方的逗号意为“和”。
对称性[编辑]
![{\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\quad \Rightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16770503db6869dd13bc0dda55f656eb7e2a0230)
![{\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ and }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\\X\perp \!\!\!\perp B\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515da8c549809097480614423f22aac2f34ca80)
证明:
(
的定义)
(对B积分以消去B)
同理可证X和B条件独立。
微弱的联合[编辑]
![{\displaystyle X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ and }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\mid A\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac663557fb0f69671e6a5d3a54f549fbb28c307b)
证明:
- 借由定义
![{\displaystyle \Pr(X)=\Pr(X\mid A,B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6fce3dac9f77542b4aec787bd7438f8475afba)
- 由于分解的属性
, ![{\displaystyle \Pr(X)=\Pr(X\mid B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ad82cdf65f7163c038859d19d758b2b0849349)
- 结合两个等式得
,其中确认
第二个条件可以类似地被证明。
- ^ 这个等式证明如下:Pr(R ∩ B | Y)是R和B在Y中的重合部分(用紫色表示)面积占Y面积的比值。左图中,有两个R和B重合的方格位于Y内,而Y有12个方格,所以Pr(R ∩ B | Y) = 2/12 = 1/6。同理,Pr(R | Y) = 4/12 = 1/3,Pr(B | Y) = 6/12 = 1/2。
参考资料[编辑]