正定矩阵

在线性代数裡，正定矩阵是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

定义

一个n×n的实对称矩阵$M$$M$是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z^T$M$$M$z > 0。其中z^T表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)$M$$M$是正定的当且仅当对于每个非零的複向量z，都有z^*$M$$M$z > 0。其中z^*表示z的共轭转置。由于$M$$M$是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的複向量z，z^*$M$$M$z必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

正定阵的判别

对n×n的埃尔米特矩阵$M$$M$，下列性质与“$M$$M$为正定矩阵”等价：

1.	矩阵$M$$M$的所有的特征值$\lambda _{i}$$\lambda_i$都是正的。根据谱定理，$M$$M$必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说$M=P^{-1}DP$$M = P^{-1}DP$，其中P是幺正矩阵，或者说$M$$M$在某 个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，$M$$M$是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
2.	半双线性形式 $\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$$\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ 定义了一个Cn上的内积。实际上，所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3.	$M$$M$是n个线性无关的k维向量${\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}$$\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，$M$$M$定义为： $M_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}.$$M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j.$ 换句话说，$M$$M$具有$A^{*}A$$A^*A$的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
4.	$M$$M$的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式： $M$$M$左上角1×1的矩阵 $M$$M$左上角2×2矩阵 ... $M$$M$自身。 对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子： ${\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
5.	存在唯一的下三角矩阵$L$$L$，其主对角线上的元素全是正的，使得： $M=LL^{*}$$M=L L^*$. 其中$L^{*}$$L^*$是$L$$L$的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的$\mathbb {C} ^{n}$$\mathbb{C}^n$改为$\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用$\mathbb {K}$$\mathbb {K}$代表$\mathbb {C}$$\mathbb {C}$或$\mathbb {R}$$\mathbb {R}$，设$\mathbb {V}$$\mathbb{V}$是$\mathbb {K}$$\mathbb {K}$上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

$B:V\times V\rightarrow K$$B : V \times V \rightarrow K$

是一个双线性映射，使得B（x, y）总是B（y, x）的共轭。这样的一个映射B是正定的当且仅当对$\mathbb {V}$$\mathbb{V}$中所有的非零向量x，都有B(x, x) > 0。

负定、半定及不定矩阵

与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵$M$$M$是负定矩阵当且仅当对所有不为零的$x\in \mathbb {R} ^{n}$$x \in \mathbb{R}^n$（或$x\in \mathbb {C} ^{n}$$x \in \mathbb{C}^n$），都有：

$x^{*}Mx<0\,$$x^{*} M x < 0\,$

$M$$M$是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的$x\in \mathbb {R} ^{n}$$x \in \mathbb{R}^n$（或$x\in \mathbb {C} ^{n}$$x \in \mathbb{C}^n$），都有：

$x^{*}Mx\geq 0$$x^{*} M x \geq 0$

$M$$M$是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的$x\in \mathbb {R} ^{n}$$x \in \mathbb{R}^n$（或$x\in \mathbb {C} ^{n}$$x \in \mathbb{C}^n$），都有：

$x^{*}Mx\leq 0$$x^{*} M x \leq 0$

可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵$A$$A$，A^*A必然是半正定的，并有rank($A$$A$) = rank（A^*A，两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M = A^*A，这就是Cholesky分解。

一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时，M的逆矩阵也是负定的。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵。

相关性质

若$M$$M$为半正定阵，可以写作$M\geq 0$$M \geq 0$。如果$M$$M$是正定阵，可以写作$M>0$$M > 0$。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，$M$$M$、$N$$N$，$M\geq N$$M\geq N$当且仅当$M-N\geq 0$$M-N \geq 0$。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义$M>N$$M>N$。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果$M\geq N>0$$M \geq N > 0$那么$N^{-1}\geq M^{-1}>0$$N^{-1} \geq M^{-1} > 0$。
2.	如果$M$$M$是正定阵，$r>0$$r > 0$为正实数，那么$rM$$r M$也是正定阵。 如果$M$$M$、$N$$N$是正定阵，那么和$M+N$$M + N$、乘积$MNM$$MNM$与$NMN$$NMN$都是正定的。如果$MN=NM$$M N = N M$，那么$MN$$M N$仍是正定阵。
3.	如果$M=(m_{ij})>0$$M=(m_{ij}) > 0$那么主对角线上的系数$m_{ii}$$m_{ii}$为正实数。于是有${\text{tr}}(M)>0$$\text{tr}(M)>0$。此外还有 $|m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}.$$| m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}.$
4.	矩阵$M$$M$是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵$B>0$$B>0$使得$B^{2}=M$$B^2 = M$。根据其唯一性可以记作$B=M^{1/2}$$B = M^{1/2}$，称$B$$B$为$M$$M$的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果$M>N>0$$M > N > 0$那么$M^{1/2}>N^{1/2}>0$$M^{1/2} > N^{1/2}>0$.
5.	如果$M,N>0$$M,N > 0$那么$M\otimes N>0$$M\otimes N > 0$，其中$\otimes$$\otimes$表示克罗内克乘积。
6.	对矩阵$M=(m_{ij}),N=(n_{ij})$$M=(m_{ij}),N=(n_{ij})$，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为$M\circ N$$M\circ N$，即$M\circ N_{i,j}=m_{ij}n_{ij}$$M\circ N_{i,j}=m_{ij} n_{ij}$，称为$M$$M$与$N$$N$的阿达马乘积。如果$M,N>0$$M,N>0$，那么$M\circ N>0$$M\circ N > 0$。如果$M,N$$M,N$为实系数矩阵，则有如下不等式成立： $\det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}.$$\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}.$
7.	设$M>0$$M > 0$，$N$$N$为埃尔米特矩阵。如果$MN+NM\geq 0$$MN+NM \geq 0$（$MN+NM>0$$MN+NM > 0$），那么$N\geq 0$$N\geq 0$（$N>0$$N > 0$）。
8.	如果$M,N\geq 0$$M,N\geq 0$为实系数矩阵，则${\text{tr}}(MN)\geq 0$$\text{tr}(MN)\geq 0$。
9.	如果$M>0$$M>0$为实系数矩阵，那么存在$\delta >0$$\delta>0$使得$M\geq \delta I$$M\geq \delta I$，其中$I$$I$为单位矩阵。

非埃尔米特矩阵的情况

一个实矩阵M可能满足对所有的非零实向量x，x^TMx > 0而并不是对称矩阵。举例来说，矩阵

${\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

就满足这个条件。对$x=(x_{1},x_{2})^{T}$$x = (x_1, x_2)^T$并且$x\neq 0$$x \ne 0$，

${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0.$$\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .$

一般来说，一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量x，有x^TMx > 0，当且仅当对称矩阵 (M + M^T) / 2是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎样扩展z^*Mz > 0这一性质。要使z^*Mz总为实数，矩阵M必须是埃尔米特矩阵。因此，若z^*Mz总是正实数，M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将z^*Mz > 0扩展为Re(z^*Mz) > 0，则等价于（M+M^*） / 2为正定阵。

参见

• 矩阵
• 确定双线性形式
• 矩阵的平方根
• 舒尔补
• 正定核
• 正定函数
• Cholesky分解

参考来源

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

• 正定矩阵
• 关于对称矩阵的一些讨论