對角矩陣

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线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

對角矩陣英语:diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此n行n列的矩陣 = (di,j)若符合以下的性質:

則矩陣為對角矩陣。

例子[编辑]

均為對角矩陣

矩陣運算[编辑]

加法

乘法

逆矩阵

若且唯若 均不為零。

性质[编辑]

  • 對角矩陣都是對稱矩陣
  • 對角矩陣是上三角矩陣下三角矩陣
  • 單位矩陣 零矩陣恆為對角矩陣。一維的矩陣也恆為對角矩陣。
  • 一個對角線上元素皆相等的對角矩陣是数乘矩阵,可表示為單位矩陣及一个系数 的乘積 [來源請求]
  • 一對角矩陣 特徵值,其特徵向量單位向量
  • 一對角矩陣 行列式為其特徵值的乘積,即

方阵与对角矩阵相似的充分必要条件[编辑]

阶方阵可进行对角化的充分必要条件是:

  • 阶方阵存在个线性无关的特征向量
    • 推论:如果这个阶方阵有阶个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵
  • 如果阶方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

參考[编辑]