正定矩陣

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線性代數

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線性代數裡,正定矩陣埃爾米特矩陣的一種,有時會簡稱為正定陣。在線性代數中,正定矩陣的性質類似複數中的實數。與正定矩陣相對應的線性算子對稱正定雙線性形式(複域中則對應埃爾米特正定雙線性形式)。

定義[編輯]

一個n×n的實對稱矩陣正定的,若且唯若對於所有的非零實係數向量z,都有zTz > 0。其中zT表示z轉置

對於複數的情況,定義則為:一個n×n埃爾米特矩陣(或厄米矩陣)是正定的若且唯若對於每個非零的複向量z,都有z*z > 0。其中z*表示z共軛轉置。由於埃爾米特矩陣,經計算可知,對於任意的複向量zz*z必然是實數,從而可以與0比較大小。因此這個定義是自洽的。

判別正定陣[編輯]

n×n埃爾米特矩陣,下列性質與「為正定矩陣」等價:

1. 矩陣的所有的特徵值都是正的。根據譜定理必然與一個實對角矩陣D相似(也就是說,其中P么正矩陣,或者說在某
正交基可以表示為一個實對角矩陣)。因此,是正定陣若且唯若相應的D的對角線上元素都是正的。
2. 半雙線性形式

定義了一個Cn上的內積。實際上,所有Cn上的內積都可看做由某個正定陣通過此種方式得到。

3. n個線性無關的k維向量Gram矩陣,其中的k為某個正整數。更精確地說,定義為:

換句話說,具有的形式,其中A不一定是方陣,但需要是單射的。

4. 的所有順序主子式,也就是順序主子陣行列式都是正的(西爾維斯特準則英語Sylvester's criterion)。明確來說,就是考察下列矩陣的行列式:
  • 左上角1×1的矩陣
  • 左上角2×2矩陣
  • ...
  • 自身。

對於半正定矩陣來說,相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子:

5. 存在唯一的下三角矩陣,其主對角線上的元素全是正的,使得:
.

其中共軛轉置。 T這一分解被稱為Cholesky分解

對於實對稱矩陣,只需將上述性質中的改為,將「共軛轉置」改為「轉置」就可以了。

二次型[編輯]

由以上的第二個等價條件,可以得到二次型形式下正定矩陣的等價條件:用代表,設上的一個向量空間。一個埃爾米特型

是一個雙線性映射,使得Bx, y)總是By, x)的共軛。這樣的一個映射B正定的若且唯若對中所有的非零向量x,都有B(x, x) > 0。

負定、半定及不定矩陣[編輯]

與正定矩陣相對應的,一個n×n的埃爾米特矩陣負定矩陣(英語:negative definite matrix)若且唯若對所有不為零的(或),都有:

半正定矩陣(英語:positive semi-definite matrix)若且唯若對所有不為零的(或),都有:

半負定矩陣(英語:negative semi-definite matrix)若且唯若對所有不為零的(或),都有:

如果一個埃爾米特矩陣既不是半正定也不是半負定的,那麼稱其為不定矩陣(英語:indefinite matrix)。

可以看出,上一節中正定陣的等價性質1隻需略作相應改動,就可以變為判別負定矩陣、半正定矩陣和半負定矩陣的準則。注意當M是半正定時,相應的Gram矩陣不必由線性無關的向量組成。對任意矩陣A*A必然是半正定的,並有rank() = rank(A*A,兩者的相等)。反過來,任意的半正定矩陣都可以寫作M = A*A,這就是Cholesky分解

一個埃爾米特矩陣M是負定矩陣若且唯若M的所有奇數階順序主子式小於0,所有偶數階順序主子式大於0。當M是負定矩陣時,M的逆矩陣也是負定的。

相關性質[編輯]

為半正定陣,可以寫作。如果是正定陣,可以寫作。這個記法來自泛函分析,其中的正定陣定義了正算子

對於一般的埃爾米特矩陣,若且唯若。這樣可以定義一個在埃爾米特矩陣集合上的偏序關係。類似地,可以定義

1. 每個正定陣都是可逆的,它的逆也是正定陣。如果那麼
2. 如果是正定陣,為正實數,那麼也是正定陣。

如果是正定陣,那麼和、乘積都是正定的。如果,那麼仍是正定陣。

3. 如果那麼主對角線上的係數為正實數。於是有。此外還有
4. 矩陣是正定陣若且唯若存在唯一的正定陣使得。根據其唯一性可以記作,稱的平方根。對半正定陣也有類似結論。同時,如果那麼.
5. 如果那麼,其中表示克羅內克乘積
6. 對矩陣,將兩者同一位置上的係數相乘所得的矩陣記為,即,稱為阿達馬乘積。如果,那麼。如果實係數矩陣,則有如下不等式成立:

7. 為埃爾米特矩陣。如果),那麼)。
8. 如果為實係數矩陣,則
9. 如果為實係數矩陣,那麼存在使得,其中單位矩陣

非埃爾米特矩陣的情況[編輯]

一個實矩陣M可能滿足對所有的非零實向量xxTMx > 0而並不是對稱矩陣。舉例來說,矩陣

就滿足這個條件。對並且

一般來說,一個實係數矩陣M滿足對所有非零實向量x,有xTMx > 0,若且唯若對稱矩陣 (M + MT) / 2是正定矩陣。

對於復係數矩陣,情況可能不太一樣。主要看的是怎樣擴展z*Mz > 0這一性質。要使z*Mz總為實數,矩陣M必須是埃爾米特矩陣。因此,若z*Mz總是正實數,M必然是正定的埃爾米特矩陣。如果將z*Mz > 0擴展為Re(z*Mz) > 0,則等價於(M+M*) / 2為正定陣。

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  • Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.