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多元正態分布

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多元正態分布
機率密度函數

Many samples from a multivariate (bivariate) Gaussian distribution centered at (1,3) with a standard deviation of 3 in roughly the (0.878, 0.478) direction (longer vector) and of 1 in the second direction (shorter vector, orthogonal to the longer vector).
記號
參數 μRN — 位置
ΣRN×N協方差矩陣 (半正定)
值域 xμ+span(Σ) ⊆ RN
機率密度函數
(僅當 Σ正定矩陣時)
累積分布函數 解析表達式不存在
期望值 μ
眾數 μ
共變異數矩陣 Σ
動差母函數
特徵函數

多變量正態分布亦稱為多變量高斯分布。它是單維正態分布向多維的推廣。它同矩陣正態分布有緊密的聯繫。

一般形式

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N維隨機向量如果服從多變量正態分布,必須滿足下面的三個等價條件:

  1. 任何線性組合服從正態分布
  2. 存在隨機向量( 它的每個元素服從獨立標準正態分布),向量 矩陣滿足.
  3. 存在和一個對稱半正定陣滿足特徵函數

如果非奇異的,那麼該分布可以由以下的概率密度函數來描述:[1]

注意這裡的表示協方差矩陣的行列式。

二元的情況

在二維非奇異的情況下(k = rank(Σ) = 2),向量 [X Y]′概率密度函數為:

其中 ρXY 之間的相關係數。在這種情況下,

參考文獻

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