合流超几何函数

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特殊函数中,合流超几何函数confluent hypergeometric function)定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形,相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞,因而得名。

根据所选择的参变量与宗量的不同,合流超几何函数有多种标准形式,常见的有:

  • Kummer 函数第一类合流超几何函数M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数;
  • Tricomi 函数第二类合流超几何函数U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解,有时会写成 Ψ(a,b,z);
  • Whittaker 函数 是 Whittaker 方程的解,Whittaker 方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关[注 1]

Kummer 方程[编辑]

根据广义超几何函数的性质,超几何函数 w(z)=1F1(a;b;z) 满足的微分方程为:

.

展开后就得到 Kummer 方程[1]

,

它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数:

式中 (a)(n)升阶乘的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形[1]

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为:

按照相同的极限过程,可知 Kummer 方程的另一个正则解为(这里的 b 等同于上式的 c):

但是,传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合[2]

它与另一个广义超几何函数有下列关系[3]

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛,需要通过另外的方式来定义(如积分表达式)。更常见的是下面的表述,它将 2F0 对应的超几何级数视为渐近级数。

Kummer 函数是整函数,而 Tricomi 函数一般有奇点 0。

可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程[编辑]

大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程

先将 A+Bz 用一个新的 z 代换,就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式:

这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D2-4F)-1/2z 代换,并将整个式子乘以相同的常数,得到:

它的解为,

李代数参数与 Whittaker 方程[编辑]

Kummer 方程的李代数参数[注 1][3]定义为

其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为

Whittaker 方程的形式为:

它的两个线性无关的解为 Whittaker 函数,与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系[1]

注意到

故 Whittaker 方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价,两者之间只差一个常数倍。

积分表示[编辑]

合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到,高斯超几何函数的积分表示为:

式中的 Β 是beta函数

两边取极限后就得到(第一类)合流超几何函数的积分表示[3]

第二类合流超几何函数的积分表示为[3]

变换公式[编辑]

高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为:

两边取极限得到(第一类)合流超几何函数的 Kummer 变换公式[2]

第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为[2]

.

特殊情形[编辑]

很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。

柱函数[编辑]

第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为[1]

Γ, 误差函数[编辑]

不完全伽玛函数可以表示为[1]

误差函数可以表示为[1]

正交多项式及相关函数[编辑]

拉盖尔函数可以表示为[1]

其中的二项式系数用贝塔函数来定义。

(物理学上的)厄米多项式可以表示为[1]

[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 关于李代数参数,详见超几何函数

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 吴崇试. 17. 数学物理方法(第二版). 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Daalhuis, Adri B. Olde, 合流超几何函数, (编) Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113. 

外部链接[编辑]