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拉盖尔多项式

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数学中,以法国数学家埃德蒙·拉盖尔英语Edmond Laguerre命名的拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。

这是一个二阶线性微分方程

这个方程只有当n非负时,才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在高斯积分法中,计算形如的积分。

这些多项式(通常用L0L1等表示)构成一个多项式序列英语polynomial sequence。这个多项式序列可以用罗德里格公式递推得到。

在按照下式定义的内积构成的内积空间中,拉盖尔多项式是正交多项式

拉盖尔多项式构成一个Sheffer序列英语Sheffer sequence

拉盖尔多项式在量子力学中有重要应用。氢原子薛定谔方程的解的径向部分,就是拉盖尔多项式。

物理学家通常采用另外一种拉盖尔多项式的定义形式,即在上面的形式的基础上乘上一个n!。

前几个拉盖尔多项式[编辑]

前几个拉盖尔多项式的表达式与函数图像如下:

n
0
1
2
3
4
5
6
前六个拉盖尔多项式

递归定义[编辑]

拉盖尔多项式也可以通过递归的方式进行定义。首先,规定前两个拉盖尔多项式为:

然后运用下面的递推关系得到更高阶的多项式。

广义拉盖尔多项式[编辑]

上面提到的拉盖尔多项式的正交性,也可以用另外一种方式表达。即:如果X是一个服从指数分布随机变量(即,概率密度函数如下式):

那么:

指数分布不是唯一的伽玛分布,对于任意的伽玛分布(概率密度函数如下,α > −1,参见Γ函数

相应的正交多项式为形如下式的广义拉盖尔多项式(可以通过罗德里格公式得到):

有时也将上面的多项式称为连带(联属,伴随)拉盖尔多项式。当取α = 0时,就回到拉盖尔多项式:

广义拉盖尔多项式的性质与应用[编辑]

  • 拉盖尔函数可以由合流超几何函数和Kummer变换得到: 为整数时,截断为阶拉盖尔多项式。
  • 阶拉盖尔多项式可以通过将莱布尼茨乘积求导公式英语Leibniz's theorem for differentiation of a product应用在罗德里格公式上而得到,结果为
  • n阶拉盖尔多项式的首项系数为(−1)n/n!;
  • 拉盖尔多项式在x=0的取值(常数项)为
  • Ln(α)n的正(应该注意到 构成以施图姆序列),且这些根全部位于区间中。
  • 很大,而不变,时,拉盖尔多项式的渐近行为如下:
,以及
[1]
  • 前几个广义拉盖尔多项式为:
  • 根据拉盖尔多项式的定义,可以使用秦九韶算法计算拉盖尔多项式,程序代码如下:
 function LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    for i:= n to 1 step -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    return LaguerreL;
 }

递推关系[编辑]

拉盖尔多项式满足以下的递推关系:

特别地,有

以及,或

还有

运用以上式子可以得到以下四条关系式:

  • or

将它们组合在一起,就得到了最常用的递推关系式:

均为整数时,拉盖尔多项式有以下的有趣性质:

进一步可以得到部分分式分解

拉盖尔多项式的导函数[编辑]

将拉盖尔多项式对自变量x求导k次,得到:

进一步有:

运用柯西多重积分公式英语Cauchy formula for repeated integration可以得到:

将拉盖尔多项式对参变量求导,得到下面的有意思的结果:

广义拉盖尔多项式满足下面的微分方程:

可以与拉盖尔多项式的k阶导数所满足的微分方程作一比较。

仅在此式中,(后面这个符号又有了新的含义)。

于是,当时,广义拉盖尔多项式可以用拉盖尔多项式的导数表示: 式中的上标(k)容易与求导k次混淆。

正交性[编辑]

伴随拉盖尔多项式在区间[0, ∞)上以权函数xα e −x正交:

这可由下式得到:

伴随对称核多项式可以用拉盖尔多项式表示为:

也有下面的递推关系:

进一步地,在伴L2[0, ∞)空间上,有:

在氢原子的量子力学处理中用到了下面的公式:

级数展开[编辑]

设一个函数具有以下的级数展开形式:

则展开式的系数由下式给出

这个级数在Lp空间上收敛,当且仅当

一个相关的展开式为:

特别地

这可由下式得到:

还有,当时,

这个结果可以由下式导出,

更多的例子[编辑]

幂函数可以展开为:

二项式可以展开为:

进一步可以得到:

(当且仅当 时收敛)

更一般地

对于非负的整数,可以化简为:

时,可以化简为:

雅可比Theta 函数有下面的表示:

随意选定参量t,贝塞尔函数可以表示为: Γ函数可以展开为:

低阶不完全伽玛函数可展开为:

还有:

于是,高阶不完全伽玛函数就是:

表示超几何函数

围道积分表示[编辑]

拉盖尔多项式可以用围道积分表示,如下式所示:

积分方向逆时针绕原点一周。

与埃爾米特多項式的关系[编辑]

广义拉盖尔多项式与埃爾米特多項式有下列关系:

以及

这里的Hn表示乘上了exp(−x2)的埃爾米特多項式(所谓的“物理学家形式”)。 正因为这样,广义拉盖尔多项式也在量子谐振子的量子力学处理中出现。

与超几何函数的关系[编辑]

拉盖尔多项式可以用超几何函数来定义,具体地说,是用合流超几何函数定义:

阶乘幂,这里表示升阶乘

与贝塞尔函数的关系[编辑]

拉盖尔多项式与变形贝塞尔函数之间有以下关系:

进一步有:

外部链接[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Abramowitz, p. 506, 13.3.8

参考文献[编辑]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. 2000. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.