阶乘幂

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数学中,阶乘幂是基于连续数列积的一种运算。

定义[编辑]

阶乘幂通常有两种形式:上升阶乘幂下降阶乘幂。阶乘幂有多种书写方式。由Leo August Pochhammer英语Leo August Pochhammer引进的珀赫哈默尔符號(Pochhammer symbol)是常用的一种。为了区分这两种阶乘幂, 被用来分别表示上升阶乘幂与下降阶乘幂。

上升阶乘幂[编辑]

特殊函数理论中常用的阶乘幂是上升阶乘幂用于表达上升数列的。上升阶乘幂的定义为:

下降阶乘幂[编辑]

组合数学中(Olver 1999,p.101)也常用下降阶乘幂

另外,值得一提的是下降阶乘幂实际上是排列 (详见排列).

两者的关系[编辑]

上升阶乘幂与下降阶乘幂,两者之间的关系为:

其中,等号左边为上升阶乘幂,而右边为下降阶乘幂。上升阶乘幂与阶乘的关系为:

其他常用符号[编辑]

在数学中,阶乘幂还有其他的书写方式。葛立恒(Ronald L. Graham), 高德纳(Donald E. Knuth) 与 Oren Patashnik 在 Concrete Mathematics 一书中定义上升阶乘幂为:

而他们则定义下降阶乘幂为:


另一种常见的上升阶乘幂的写法是:


其中 h 是递增公差,而k 是数列长度。下降阶乘幂则写作:


一种较为少见的写法将上升阶乘幂 (x)(n) 写作 (x)+(n)

属性[编辑]

二项式属性[编辑]

零次的上升阶乘幂与下降阶乘幂,x(0) 与 (x)(0), 都定义为1。 上升阶乘幂与下降阶乘幂都能以二项式系数形式表达:

于是二项式系数适用的许多性质都适用于阶乘幂。

显然,阶乘幂作为n个连续整数的积,它定能被n整除。同时,当n≥4时 阶乘幂必定能表达为一个完全平方数减1。

上升阶乘幂与下降阶乘幂遵从一个类似二项式定理的规则:

其中待定系数为二项式系数

显然 (a)(n) = (a + n − 1)n

因为下降阶乘幂是多项式环的基础,我们可以将下降阶乘幂的积表示为下降阶乘幂的线性组合:

等式右边的系数则为二项式系数

实数幂[编辑]

如果都不是负数,阶乘幂的指数可以扩展到实数集合。 運用伽玛函数,上升阶乘幂的定义變為:

下降阶乘幂则为:

阶乘幂与亚微积分[编辑]

差分方程里常使用下降阶乘幂。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似,不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中,下降阶乘幂(x)k 替代微分中的 xk. 例如:

这种相似性在数学中称为 亚微积分。 亚微积分涵盖如多项式二项式型谢费尔序列.

参考文献[编辑]

  • Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
  • Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .