阶乘幂

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数学中,阶乘幂是基于连续数列积的一种运算。

定义[编辑]

阶乘幂通常有两种形式:上升阶乘幂下降阶乘幂。阶乘幂有多种书写方式。由Leo August Pochhammer英语Leo August Pochhammer引进的珀赫哈默尔符號(Pochhammer symbol)是常用的一种。为了区分这两种阶乘幂, \ x^{(n)}\ (x)_n 被用来分别表示上升阶乘幂与下降阶乘幂。

上升阶乘幂[编辑]

特殊函数理论中常用的阶乘幂是上升阶乘幂用于表达上升数列的。上升阶乘幂的定义为:

(x)^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}

下降阶乘幂[编辑]

组合数学中(Olver 1999,p.101)也常用下降阶乘幂

(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}

另外,值得一提的是下降阶乘幂实际上是排列 P(x,n)\,(详见排列).

两者的关系[编辑]

上升阶乘幂与下降阶乘幂,两者之间的关系为:

 (-x)^{(n)} = (-1)^n (x)_n \

其中,等号左边为上升阶乘幂,而右边为下降阶乘幂。上升阶乘幂与阶乘的关系为:

 (1)^{(n)}=(n)_{n}=n! \

其他常用符号[编辑]

在数学中,阶乘幂还有其他的书写方式。葛立恒(Ronald L. Graham), 高德纳(Donald E. Knuth) 与 Oren Patashnik 在 Concrete Mathematics 一书中定义上升阶乘幂为:

x^{\overline{n}}=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}

而他们则定义下降阶乘幂为:

x^{\underline{n}}=\frac{x!}{(x-n)!}


另一种常见的上升阶乘幂的写法是:

[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)


其中 h 是递增公差,而k 是数列长度。下降阶乘幂则写作:

[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)


一种较为少见的写法将上升阶乘幂 (x)(n) 写作 (x)+(n)

属性[编辑]

二项式属性[编辑]

零次的上升阶乘幂与下降阶乘幂,x(0) 与 (x)(0), 都定义为1。 上升阶乘幂与下降阶乘幂都能以二项式系数形式表达:

\frac{(x)^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.

于是二项式系数适用的许多性质都适用于阶乘幂。

显然,阶乘幂作为n个连续整数的积,它定能被n整除。同时,当n≥4时 阶乘幂必定能表达为一个完全平方数减1。

上升阶乘幂与下降阶乘幂遵从一个类似二项式定理的规则:

(a + b)^{(n)} = \sum_{{j=0}}^n {n \choose j} (a)^{(n-j)}(b)^{(j)}
(a + b)_n = \sum_{{j=0}}^n {n \choose j} (a)_{n-j}(b)_{j}

其中待定系数为二项式系数

显然 (a)(n) = (a + n − 1)n

因为下降阶乘幂是多项式环的基础,我们可以将下降阶乘幂的积表示为下降阶乘幂的线性组合:

x^{\underline{m}} x^{\underline{n}} = \sum_{k=0}^{m} {m \choose k} {n \choose k} k!\, x^{\underline{m+n-k}}

等式右边的系数则为二项式系数

实数幂[编辑]

如果x \,x+n \,都不是负数,阶乘幂的指数n\,可以扩展到实数集合。 運用伽玛函数,上升阶乘幂的定义變為:

(x)^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}

下降阶乘幂则为:

(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}

阶乘幂与亚微积分[编辑]

差分方程里常使用下降阶乘幂。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似,不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中,下降阶乘幂(x)k 替代微分中的 xk. 例如:

\Delta x^{\underline{k}} = k x^{\underline{k-1}}\,

  \partial {x^k}/\partial x = k x^{k-1}\,

这种相似性在数学中称为 亚微积分。 亚微积分涵盖如多项式二项式型谢费尔序列.

参考文献[编辑]

  • Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
  • Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press. 1999, ISBN 0521558212 .