夾擠定理(英語:Squeeze theorem),又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理,是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同,且有第三個函數的值在這兩個函數之間,则第三個函數在該點的極限也相同[1]。
設
為包含某點
的區間,
為定義在
上,可能不包含a点的函數。若對於所有屬於
而不等於
的
,有:
![{\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f75c03b6ad428754e1884a9d4f7d9f819714a9)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a1f0b50811635b246c8466a08657bc44d2507a)
則
。
和
分別稱為
的下界和上界。
若在
的端點,上面的極限是左極限或右極限。
對於
,這個定理還是可用的。
对于
,
在任何包含0的區間上,除了
,
均有定義。
對於實數值,正弦函數的絕對值不大於1,因此
的絕對值也不大於
。設
,
:
![{\displaystyle -1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94611f8e08ebb8ab007b175c454dd3e63083f366)
![{\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fce8eb24ab9d297810bf2acb2d1934699deced)
![{\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f75c03b6ad428754e1884a9d4f7d9f819714a9)
,根據夾擠定理
。
对于
,
首先用幾何方法證明:若
,
。
稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。
在
上,使得
垂直
。過
作單位圓的切線,與
的延長線交於
。
由定義可得
,
。
![{\displaystyle AC<AD<arcAD}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b053ee9effcdd74404a608e7cf81c9af515bc16)
![{\displaystyle \sin x<x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b309e3ce008d7928ce761351ca364e3598d500)
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2795eafe77d60b29ba745617d05219d12e50564)
![{\displaystyle arcAD<AE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8cdc24d8ca8e60a0fffd400f3a5946010068a5)
![{\displaystyle x<\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4618346596c2de875d6fd0d1c0a5559dc125c4)
![{\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775300f1066f2d462a6ccc4289aac9856210f1c1)
因為
,根據夾擠定理
。
另一邊的極限可用這個結果求出。
高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。
一般高斯函數的積分是
,現在要求的是
。
被積函數對於y軸是對稱的,因此
是被積函數對於所有實數的積分的一半。
這個二重積分在一個
的正方形內。它比其內切圓大,比外接圓小。這些可用極坐標表示:
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63afd67f3bf5658016760cc7929b4572c929ba48)
![{\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0e714fe18ceb1911d72e24eac81f3e045c22cd)
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe163152aa218d8b76ea263f3a313a397f1d3dd)
![{\displaystyle \lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6187baa771ded225e6d00723ab1f44dc9e8554)
![{\displaystyle I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae6db46b3509797276eea606af4fbc7ea5ef822)
若
,
,而且
。
設
,根據函數的極限的定義,存在
使得:若
,則
。
由於
,故
。
若
,則
。於是,
。
當
:
![{\displaystyle h(x)-g(x)\to L-L=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe273d6eb93dc121514b9d92019949edb35a3ee5)
- 根據上面已證的特殊情況,可知
。
。
- ^ Stewart, James. Chapter 15.2 Limits and Continuity. Multivariable Calculus (6th ed.). 2008: 909–910. ISBN 978-0495011637.