圆周率近似值

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
圓周率近似值隨時間的發展


早期歷史[编辑]

中世紀[编辑]

16至19世紀[编辑]

20世紀[编辑]

21世紀[编辑]

比較不準確的近似值[编辑]

計算圓周率近似值的方程的發展[编辑]

梅欽類公式(Machin-like formulae)[编辑]

其他古代公式[编辑]

現代公式[编辑]

二進制數位公式[编辑]

π和一個碎形[编辑]

多方面的近似值[编辑]

在古代,人們使用60進制來計算。在60進制中,π能被準確至小數點後八位(十進制),而這數字是3:8:29:4460,即是:

 3 + \frac{8}{60} + \frac{29}{60^2} + \frac{44}{60^3} = 3.14159\ 259^+

(下一個60進制的數位為0)

除此之外,π還能以以下方式表示:

  • 準確至3位:
\sqrt{2} + \sqrt{3} = 3.146^+
  • 準確至4位:
\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}} = 3.1416^+[1]
  • 準確至4位:
\sqrt[3]{31} = 3.1413^+[2]
\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}} = 3.1416^+
  • 準確至5位:
\frac{7^7}{4^9} = 3.14156^+
  • 準確至7位:
\frac{355}{113} = 3.14159\ 29^+
  • 準確至9位:
 \sqrt[4]{3^4+2^4+\frac{1}{2+(\frac{2}{3})^2}}  =\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159\ 2652^+
這是拉馬努金提出的,拉馬努金說他在夢中收到印度神Namagiri的啟示。[3]
  • 準確至10位:
\frac{63}{25} \times \frac{17 + 15\sqrt{5}}{7 + 15\sqrt{5}} = 3.14159\ 26538^+
  • 準確至10位:
\sqrt[193]{\frac{10^{100}}{11222.11122}} = 3.14159\ 26536^+
  • 準確至18位:
\frac{80\sqrt{15}(5^4+53\sqrt{89})^\frac{3}{2}}{3308(5^4+53\sqrt{89})-3\sqrt{89}}[4]
  • 準確至30位:

圓形的面積[编辑]

以正多邊形來計算π的值[编辑]

連分數[编辑]

π連分數表示式是[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]。這連分數沒有任何模式。π有很多用一條簡單的規矩然製成的廣義連分數


\pi= {3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \ddots\,}}}}\!

\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \ddots}}}}\!

(其他連分數能在這裡查看。)

三角函數[编辑]

莱布尼茨公式[编辑]

反正切[编辑]

反正弦[编辑]

薩拉明 - 布倫特公式[编辑]

計算任意數位的方法[编辑]

在1995年,西蒙·普勞夫發現了贝利-波尔温-普劳夫公式。這公式能在16進制中計算pi的任意數位,而不用計算之前的數位。[5]

\pi=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)\left(\frac{1}{16}\right)^n\!

在1996年,西蒙·普勞夫發明了一個公式,能在O(n3log(n)3)的時間之內計算出pi在任意進制的第n個數位[6]。在1997年,法布里斯·贝拉發明了另一個公式,把計算所需時間縮短至O(n2)。他又發明了在2進制計算pi的公式。[7]

\pi=\frac{1}{2^6}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \left (-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}\right )\!

有效的方法[编辑]

在1961年,丹尼爾柄英语Daniel Shanks和他的團隊在美國海軍研究實驗室計算了π的前100,000數位。

他和他的團隊使用了兩個不同的幂級數來計算π的數值。第一個幂級數中,任何錯誤都會造成一個比較高的數值;而另一個中,任何錯誤都會造成一個比較低的數值。所以如果兩個幂級數計算出同樣的數值,那個數值就肯定正確。美國海軍研究實驗室發放了π的前100,000數位。

但是以上的兩個幂級數也要很長的時間才能計算出結果。相反地,約翰·梅欽英语John Machin的公式與反正切泰勒级数一起使用則能很快地計算結果:

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}\!

使用複數極坐標系便能證實這公式,以以下的數學式開始:

(5+i)^4\cdot(239-i)=2^2 \cdot 13^4(1+i).\!

這類的公式被稱為梅欽類公式。(注意,{ x,y} = {239, 132}是佩爾方程x2-2y2 = -1」的其中一個解答。)

印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金發現了π的很多其他表示方式。他與戈弗雷·哈罗德·哈代一起公作了很多年。

如果要計算π小數點後很多位,計算者通常會使用高斯-勒让德算法波尔温公式英语Borwein's algorithm,和1976年發明的薩拉明 - 布倫特公式

π1/π的小數點後首十萬位能在古腾堡计划裡查閱(參見[[#外部鏈結|]])。

在2002年12月,在東京大學進修的金田康正發放了π小數點後1,241,100,000,000位的值,創造了新的世界記錄。他在2002年9月以六十四部日立超級電腦計算出這值。這些電腦有1TB的記憶體,而且能在每秒執行2兆次運算。上一個記錄(21億位)所使用的電腦每秒只能執行1兆次運算。金田康正使用了以下公式:

 \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}\!
K. Takano (1982).
 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}\!
F. C. W. Störmer (1896).

這些近似值由於有太多數位,所以沒有實際用途,只是用來測試超級電腦。

在1997年,大衛·貝利(David H. Bailey)、皮特·波爾溫英语Peter Borwein西蒙·普勞夫發佈了一條新的公式來計算π的值:

\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}
\left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right).\!

這公式能在不知道前k - 1數位的值之下,在2進制16進制中計算出π的第k個數位的值。貝利的網頁包含了計算方法,而且把方法以幾個程式語言記下。PiHex英语PiHex計算出π小數點後一兆數位的值。

法布里斯·贝拉推出了贝利-波尔温-普劳夫公式的改良版——貝拉公式

\pi = \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} -\frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)\!

還有其他計算π的值的公式:


\frac{\pi}{2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!} =1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\cdots\right)\right)\right)\!
牛頓
 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!
斯里尼瓦瑟·拉马努金

拉馬努金的公式收歛的速度異常地快,這公式後來在2000年演變成最快的公式:

 \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}\!
David ChudnovskyGregory Chudnovsky.

關於圓周率近似值的計劃[编辑]

計算圓周率近似值的軟件[编辑]

General purpose[编辑]

大多数计算机代数系统可以计算出π和其他常见的数学常数到任何所需的精度。

计算π的功能中还包括许多通用库任意精度算术运算,例如CLNMPFR

參考資料[编辑]

  1. ^ A nested radical approximation for pi
  2. ^ Gardner, Martin. New Mathematical Diversions. Mathematical Association of America. 92. 1995 .
  3. ^ "Lost notebook page 16" ,Ramanujan
  4. ^ CetinHakimoglu–Brown
  5. ^ MathWorld: BBP Formula Wolfram.com
  6. ^ Simon Plouffe, On the computation of the n'th decimal digit of various transcendental numbers, November 1996
  7. ^ Bellard's Website:Bellard.org