e的π次方

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e^\pi  \,是一个数学常数。与eπ一样,它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明,并注意到:

 e^\pi  \; = \;    (e^{i\pi})^{-i}   \; = \;(-1)^{-i}

其中i虚数单位。由于−i是代数数,但肯定不是有理数,因此eπ是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是 2^{\sqrt{2}}2的根号2次方,又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值 \pi + e^\pi\,也是无理数[1]

数值[编辑]

在十进制中,eπ大约为

e^\pi  \approx 23.140692632\dots\,.

它的值可以用以下迭代来求出。定义

k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}

其中\scriptstyle k_0\,=\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

\left(\frac{4}{k_N}\right)^{2^{1-N}}

迅速收敛于e^\pi

几何中的独特之处[编辑]

n维球体的体积由以下公式给出:

V_n={\pi^\frac{n}{2}R^n\over\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

所以,任何一个偶数维的单位球具有体积:

V_{2n}=\frac{\pi^{n}R^{2n}}{n!}.

把所有偶数维的单位球的体积加起来,得出:[2]

\sum_{n=0}^\infty V_{2n} = e^\pi. \,

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Nesterenko, Y. Modular Functions and Transcendence Problems. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914. 
  2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame

外部链接[编辑]