刘维尔数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

如果一个实数满足,对任意正整数,存在整数,其中

就把叫做刘维尔数

刘维尔在1844年证明了所有刘维尔数都是超越数,第一次说明了超越数的存在。

基本性质[编辑]

容易证明,刘维尔数一定是无理数。若不然,则。 取足够大的使,在时有

与定义矛盾。

刘维尔常数[编辑]

这是一个刘维尔数。取

那么对于所有正整数

超越性[编辑]

所有刘维尔数都是超越数,但反过来并不对。例如,著名的e就不是刘维尔数。实际上,有不可数多的超越数都不是刘维尔数。

证明[编辑]

刘维尔定理:若无理数代数数,即整系数多项式的根,那么存在实数,对于所有

证明:令,记的其它的不重复的根为 ,取这样的A

如果存在使定理不成立的,就有

那么,

拉格朗日中值定理,存在之间的使得

是多项式,所以

由于

矛盾。

证明刘维尔数是超越数:有刘维尔数,它是无理数,如果它是代数数则

取满足的正整数,并令,存在整数其中

与上式矛盾。故刘维尔数是超越数。

参见[编辑]

外部链接[编辑]