E (数学常数)

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

e 是使在x=0 点上 f (x)=ax(蓝色曲线)的导数(切线的斜率)值为1之a的唯一值。对比一下,函数2x(虚点曲线)和4x(虚线曲线)和斜率为1、y-截距为1的直线(红色)并不相切。

,作为數學常數,是自然對數函數底數。有時被稱為歐拉數Euler's number),以瑞士數學家歐拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数,數值約是(小數點後20位,OEISA001113):

歷史[编辑]

第一次提到常數,是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把e看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:

已知的第一次用到常數,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以b表示。1727年歐拉開始用來表示這常數;而第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然往後年日有研究者用字母c表示,但較常用,終於成為標準。

e表示的確實原因不明,但可能因為是「指數」(exponential)一字的首字母。另一看法則稱abcd有其他經常用途,而是第一個可用字母。

定義[编辑]

就像圓周率虛數單位i 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。

最常見的四種 e 的定義如下:

1. 定義 e 爲下列極限值:
2. 定義 e 爲下列無窮級數之和:
其中 n! 代表 n 的階乘
3. 定義 e 爲唯一的正數 x 使得
4. 定義 e 爲唯一的實數 x 使得

這些定義可證明是等價的。

證明

(定義一)
(二項式定理)
(定義二)
定義二證畢
(定義四)
定義四證畢

性質[编辑]

的極大值在x=e.

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 的重要性,在於它是唯一的函數(零多項式函數除外)與自身導數相等(乘以常數,最一般的函數形式為  ,k 為任意常數)。即:

泰勒級數

x為複數時依然成立,因此根據的泰勒級數,得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式:

的特例是歐拉恆等式

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

棣莫弗公式

  • 时函數有最大值。
  • e 的無窮連分數展開式有個有趣的模式,可以表示如下(OEISA003417):

就像以下的展開式:

無理數證明[编辑]

反證法[编辑]

證明 e 是無理數可以用反證法。假設 e 是有理數,則可以表示成 ,其中 a,b 為正整數。以 e 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

以下將推導出是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證是無理數。

  • 是整數,因為
  • 是小於1的正數,因為

但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出為無理數。

二項式定理[编辑]

為存在的數值,所以用二項式定理可證出:

已知位数[编辑]

e的已知位数[1][2]
日期 位数 计算者
1748年 18 Leonhard Euler
1853年 137 William Shanks
1871年 205 William Shanks
1884年 346 J. M. Boorman
1946年 808  ?
1949年 2,010 John von Neumann
1961年 100,265 Daniel Shanks & John W. Wrench
1978年 116,000 Stephen Gary Wozniak
1994年 10,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月 18,199,978 Patrick Demichel
1997年8月 20,000,000 Birger Seifert
1997年9月 50,000,817 Patrick Demichel
1999年2月 200,000,579 Sebastian Wedeniwski
1999年10月 869,894,101 Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日 1,250,000,000 Xavier Gourdon
2000年7月10日 2,147,483,648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2000年7月16日 3,221,225,472 Colin Martin & Xavier Gourdon
2000年8月2日 6,442,450,944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2000年8月16日 12,884,901,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003年8月21日 25,100,000,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003年9月18日 50,100,000,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2007年4月27日 100,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009年5月6日 200,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2010年2月21日 500,000,000,000 Alexander J. Yee
2010年7月5日 1,000,000,000,000 Shigeru Kondo & Alexander J. Yee
2014年11月15日 1,048,576,000,000 David Galilei Natale

諧取[编辑]

  • Google2004年的首次公開募股,集資額不是通常的整頭數,而是$2,718,281,828,這當然是取最接近整數的十億美元。(顺便一提,Google2005年的一次公開募股中,集資額是$14,159,265,与圆周率有关)
  • Google也是首先在矽谷心臟地帶,接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版的幕後黑手,它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com(在e的連續數字中第一個發現的十位質數.com)。解決了這問題(第一個中的十位質數是7427466391,出奇地到很後才出現,由第100個數字開始),進入網站後還有個更難的題目要解決,最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束,上述網站都已關閉。
  • 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的版本號碼趨向(就是說版本號碼是2,2.7,2.71,2.718等),与之相对的有TeX的版本号是趋向于圆周率的。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
  2. ^ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast