反證法

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反证法(又称背理法)是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。

反证法与归谬法相似,但归谬法不仅包括推理出矛盾结果,也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理據[编辑]

給出命題p和命題\bar{p}(非p),根據排中律,兩者之中起碼有一個是真(更強的說法為,除了真和假之外並無其他的情況),所以若果其中一個是假的,另一個就必然是真。給出命題q和命題\bar{q}(非q),根據無矛盾律,兩者同時為真的情況為假。給出命題pr,根據否定後件律,如果若p成立時出現r,則r為假時p即為假。反證法在要證明p時,透過顯示出若\bar{p}成立時出現矛盾(q\bar{q}),即\bar{p}為假,從而證明p為真。

例子[编辑]

\sqrt{2}无理數的证明(古希腊人)

证明:假设\sqrt{2}有理数,那么就写成p/q的形式,且p,q互质。那么有
p=\sqrt{2}×q
p²=2×q²
可得p²是偶数。而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式,得:q²=2s². 所以q也是偶数。这样,p,q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾。則假设不成立!因此\sqrt{2}为无理数。

其他可用反證法證明的例子[编辑]

  1. 证明有无限多个质数。
  2. 任意6人当中,求证或者有三人两两相识,或者有三人互不相识。
  3. 现有90张纸,每张纸都写有一个非负整数,已知这90个数之和小于1980,证明至少有三张数目相同的纸。
  4. 集合S={x:0<x<1}没有最小值。
  5. 设n是大于1的整数,若所有小于或等于\sqrt{n}的质数都不能整除n,则n是质数。
  6. 已知三角形ABC是锐角三角形,且∠A>∠B>∠C。求证:∠B>45。
  7. 已知a、b为正实数,求证:\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}
  8. 已知a、b、c、d是实数,且ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。

引文[编辑]

进一步阅读[编辑]

  • J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6