否定後件

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经典逻辑中,否定后件拉丁語modus tollens)有如下论证形式:

如果P,则Q。
非Q。
所以,非P。

它也可也被认为是否定结论,是一种有效的认证形式。

否定后件有时会与歸謬法 (Proof by contradiction)(假设命题的否定成立,证明这会导致矛盾)或者反證法 (Proof by contrapositive)(证明如果P则Q,通过证明如果非Q则非P的方法实现)相混淆。

例子[编辑]

歸謬法的例子如下:

  • 假定是一個有限循環群,且單群,則質數
  • 也就是說,
  • 不是質數,則不是有限循環群,或者不是單群。
  • 證明:
    • 假定原論述不成立,那麼就表示「不是質數」是錯的
    • 也表示說「若不是質數,則不是有限循環群,或者不是單群。」是錯的
    • 這就表示「有個集合是有限循環群,且單群」,而且「不是質數
    • 現在假定的階是,生成元是單位元則記做,因此有
    • 由於循環群,因此是生成元,因此的所有元素都可表示成的形式,其中;又不是不是質數,因此存在兩個大於等於2的正整數,使得
    • 由此可知,的元素,且
    • 所有形如的元素可構成的一個真子群,且
    • 由於是循環群,因此是一個交換群
    • 由於是交換群,因此的所有子群都是正規子群
    • 的一個真子群。
    • 的一個正規子群。
    • 和自身以外的正規子群,此與單群的假設矛盾。
    • 這表示先前的假設「『若不是質數,則不是有限循環群,或者不是單群。』是錯的」這條是錯的。
    • 因此原論述「假定是一個有限循環群,且單群,則質數。」是對的。

证明[编辑]

步骤 命题 推论
1 已知
2 已知
3 實質條件 (1)
4 選言三段論 (2,3)

参见[编辑]