虚数

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

虛數,即實數部分為0的複數。“虛數”這個名詞是17世纪著名數學家笛卡爾創製,因為當時的觀念認為在真實世界中這是虛構或毫無用處的數字。後來在歐拉高斯的研究之後,後來發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複平面上每一點對應着一個複數。

每一個虛數可表達為bi,其中b實係數,虛數bi的平方是b2。例如,5i是一個虛數,其平方為−25。0被認為既是實數也是虛數。虛數單位 的定义是:

或者

稱為虛數單位。在電子學及相關領域內, 通常表達電流,故改為以 表示虛數單位。每個複數可唯一地寫成一個實數及一個虛數的和。

... 虛數的高次方會不斷地如下循環)
i−3 = i
i−2 = −1
i−1 = −i
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
in = in(mod 4)

的高次方會不斷作以下的循環:


則:

其中k為正整數。

歷史[编辑]

幾何詮釋[编辑]

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上,複數平面的垂直軸表示虛數,它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考慮標準數線:往右側正幅度增長,往左側則負幅度減少。在x-軸的0點處,往上升方向可繪製y-軸的“正”虛數,然後向上增加;而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”,並被表示為i,或

在該呈現圖示中,乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。i的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉,而方程式i2 = −1可被解釋為,如果我們對原點應用兩個90度旋轉,則終了結果是單一個180度旋轉。注意,“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了i也解出了方程x2 = −1。一般來說,乘以複數與以複數幅角圍繞原點的旋轉相同,然後按其大小進行縮放。

負數的平方根[编辑]

我們應該將根號視為求 的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應, 實際上代表的是兩個數,分別為 。但若直接將 對應到,而 對應到 也未嘗不可。

筆記[编辑]

不同的虛數都是不能比較大小的: 成立,但 卻均不成立。

舉例:假設

平方得

即可看出矛盾。

再舉例:假設

平方得(要變號)

即可看出矛盾。

因此虛數及複數(含i)不能比較大小。


由於虛數特殊的運算規則,出現了下列算式

這也暗示了 為方程 的根,另三個根分別為

由於虛數特殊的運算規則,出現了符號

的簡式。

如果再將這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。

參看[编辑]

参考资料[编辑]