虛數

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各種各樣的
基本

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無限小數
循環小數
有理數
代數數
實數
複數
高斯整數

負數
整數
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分數
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二進分數
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虛數
二次無理數
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延伸

雙複數
四元數
共四元數
八元數
超數
上超實數

超複數
十六元數
複四元數
大實數
超實數
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

虛數,即實數部分為0的複數。「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創製,因為當時的觀念認為在真實世界中這是虛構或毫無用處的數字。後來在歐拉高斯的研究之後,後來發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複平面上每一點對應著一個複數。

每一個虛數可表達為bi,其中b實係數,虛數bi的平方是b2。例如,5i是一個虛數,其平方為−25。0被認為既是實數也是虛數。虛數單位 的定義是:

或者

稱為虛數單位。在電子學及相關領域內, 通常表達電流,故改為以 表示虛數單位。每個複數可唯一地寫成一個實數及一個虛數的和。

... 虛數的高次方會不斷地如下循環)
i−3 = i
i−2 = −1
i−1 = −i
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
in = in(mod 4)

的高次方會不斷作以下的循環:


則:

其中k為正整數。

歷史[編輯]

幾何詮釋[編輯]

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

負數的平方根[編輯]

我們應該將根號視為求 的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應, 實際上代表的是兩個數,分別為 。但若直接將 對應到,而 對應到 也未嘗不可。

筆記[編輯]

不同的虛數都是不能比較大小的: 成立,但 卻均不成立。

舉例:假設

平方得

即可看出矛盾。

再舉例:假設

平方得(要變號)

即可看出矛盾。

因此虛數及複數(含i)不能比較大小。


由於虛數特殊的運算規則,出現了下列算式

這也暗示了 為方程 的根,另三個根分別為

由於虛數特殊的運算規則,出現了符號

的簡式。

如果再將這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。

參看[編輯]

參考資料[編輯]