虛數

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圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

虛數,即實數部分為0的複數。「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創製,因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複平面上每一點對應著一個複數。

每一個虛數可表達為 ,其中 實數,虛數單位 的定義是:

或者

我們應該將根號視為求 的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應, 實際上代表的是兩個數,分別為 。但若直接將 對應到,而 對應到 也未嘗不可。

稱為虛數單位。在電子學及相關領域內, 通常表達電流,故改為以 表示虛數單位。每個複數可唯一地寫成一個實數及一個虛數的和。

的高次方會不斷作以下的循環:


則:

其中k為正整數。


...


[1]

由於虛數特殊的運算規則,出現了下列算式

這也暗示了 為方程 的根,另三個根分別為

由於虛數特殊的運算規則,出現了符號

的簡式。

如果再將這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。

而不同的虛數都是不能比較大小的:

成立,但 卻均不成立。


舉例:

假設

平方得

即可看出矛盾。

再舉:

假設

平方得(要變號)

即可看出矛盾。


因此虛數及複數(含i)不能比較大小。

參看[編輯]

參考資料[編輯]

  1. ^ 的計算方法舉例(英文視頻)

視頻講解(英文)[編輯]