超現實數

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索
各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

正數
自然数
正整數
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
代數數
实数
複數
高斯整數

负数
整数
负整數
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数

延伸

雙複數
四元數
共四元數
八元數
超數
上超實數

超复数
十六元數
複四元數
大實數
超實數
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

Confusion grey.svg
提示:本条目的主题不是超實數

數學上,超現實數系統英语:Surreal Numbers)是一種連續統,其中含有實數以及無窮量,即無窮)量,其絕對值大(小)於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質,包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算(加減乘除);也因此,它們構成了有序域[註 1]。在嚴格的集合論意義下,超現實數是可能出現的有序域中最大的;其他的有序域,如有理數域實數域有理函數域列維-奇維塔域英语Levi-Civita field上超實數域英语Superreal number超實數域等,全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數

超现实数树的可视化。

超現實數是由約翰·何頓·康威(John Horton Conway)所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納(Donald Knuth)在他的書《研究之美》[註 2][1][2]中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說,而值得一提的是,這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡,高德納造了「surreal number」一詞,用來指稱康威起初只叫做「number」(數)的這個新概念。康威樂於採用新的名稱,後來在他1976年的著作《論數字與博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

概述[编辑]

康威[3]使用递归构造了超现实数,其中每个数都是两个数集构成的序对,记为 。这两个集合要求 里的每个元素都严格小于每个 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字:

整数及二进分数[编辑]

让我们先来看几个简单的例子。

因此整数都是超现实数。(以上几行是定义而非等式。)

至此我们可以通过超现实数定义二进分数(分母为2的幂次的分数)。

其他实数[编辑]

为了定义更多的实数,我们可以将使用无限的左右集合:,事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

无穷数[编辑]

根据归纳法,我们可以构造出 等无穷大的数, 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

更多的数[编辑]

我们定义

,那么 ,这在直观上等阶于“是在第天中出生的”。

那么我们可以观察发现:

  • ,其中

我们将超现实数集合称作

序关系[编辑]

给定 ,我们(递归地)定义 当且仅当以下两命题同时成立:

  • 没有一个 符合
  • 没有一个 符合

那么可以自然地定义 。可以证明,这样的二元关系是一个全序关系

我们分别将 称为 负、 正、 非正、 非负。

我们定义 表示 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在,但是这个关系会在之后的博弈章节出现。

运算[编辑]

加法[编辑]

我们定义超现实数之间的加法,其中

加法逆元[编辑]

我们定义负号(加法逆元)为 ,其中

可以验证这两个运算构成了(真类上的)阿贝尔群

乘法[编辑]

我们定义乘法运算为,其中

乘法逆元[编辑]

我们定义(正数的)乘法逆元,这样除法就是 。我们可以发现这个定义是递归的,但是实际上这个数字是良定义的:我们取 那么 会有一个 作为左项,导致了 会是一个右项。这又意味着 作为左项、 作为右项,以此类推,所以我们有 (考虑两边的序列在实数中分别收敛到 ,因此是相容的)。

对于负数,我们定义

子集对应[编辑]

有理数实数序数分别是超现实数的子集。

有理数[编辑]

所有二进分数都可以定义为超现实数,而所有分数都可以表示为两个整数之比,因此所有有理数都可以表示为超现实数。

实数[编辑]

在定义出了有理数之后,使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设,其中 ,那么立刻可知存在 的一个超现实数表示,其中 是有理数到超现实数的域同態。

序数[编辑]

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合[4]。所有序数的全体记为,那么我们有:

这样的同态可以保持序关系的结构,但是并不能保证算术的一一对应,比如 这一式子的值在序数中的结果是 ,而在超现实数中则是 .

博弈[编辑]

如果去除超现实数定义中对所有 的约定,那么这样(递归)定义出来的真类被称做游戏[5]。对其仍然可以(一模一样的)定义加法、加法逆元以及比较。

显然,所有的超现实数都是游戏,但并非所有游戏都是超现实数,例如 就不是,其满足

可以发现,所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏,其中左集合表示第一位玩家(下称左玩家)可以走到的局面,右集合则表示第二位玩家(下称右玩家)的选择,不能操作者负。

两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏,而每个玩家选择其中一个进行操作,不能操作者负。

我们可以发现,这个游戏的胜负取决于 的相对关系。

  • ,则后手必胜。
  • ,则左玩家必胜。
  • ,则右玩家必胜。
  • ,则先手必胜(英语:fuzzy game)。

有以下这些特殊的游戏[6]

可以发现,关于他们有这么几个性质:

  • (比所有超现实数更接近0)

可以用于分析复杂的游戏。

暫譯術語[编辑]

  • 超現實數(Surreal)
  • 無窮量(Infinitesimal)
  • 格羅滕迪克宇集

注释[编辑]

  1. ^ 但當初在使用馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論來建立超現實數理論時,全體超現實數並不構成集合,而只構成真類,因此使用「」(field)此一術語看來不甚精確;在嚴格區分集合和真類顯然重要時,有些作者會使用首字母大寫的「Field」或全大寫的「FIELD」來指稱那些其實是真類,但又具有域的算術性質的對象。暫時可稱作「琙」(音同域)或「真類域」。如想得到一個真正的、作為集合的域,可以把構造限制在格羅滕迪克宇集中,這樣的話就得到一個集合,其基數為一種強不可達基數;又或者使用另一種形式的集合論,在其中,任何超限遞歸構造總要在可數序數(比如 ,即艾普塞朗數)處停下。
  2. ^ Surreal number正式中文譯名尚未出現,但英語Surreal英语Surreal一詞與Surrealism聯繫起來的話,在中文裡後者譯為「超現實主義」,因此「超現實數」便作為surreal number的可能譯名。

来源[编辑]

  1. ^ 《研究之美》(Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness)
  2. ^ 現在本書的中文譯文已經在大陸出版,見存档副本. [2012-05-10]. (原始内容存档于2012-03-16). 
  3. ^ Conway, John H. On Numbers and Games 2. CRC Press. 2000-12-11 [1976]. ISBN 9781568811277. (原始内容存档于2018-03-27) (英语). 
  4. ^ W., Weisstein, Eric. Ordinal Number. mathworld.wolfram.com. [2018-03-27]. (原始内容存档于2017-11-10) (英语). 
  5. ^ E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays I. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091101-9. 
    E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays II. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091102-7. 
  6. ^ W., Weisstein, Eric. Surreal Number. mathworld.wolfram.com. [2018-03-27]. (原始内容存档于2017-08-14) (英语).