分划

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分化是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集及其中某个元素而言,将分拆为两个非空集合,使得两者其一中所有元素(按照顺序)均在之前、另一中所有元素均在之后。

常见的是对于全体有理数的操作,即。对于有理数,将有理数集合分拆为两个非空集合,若满足条件:

  1. ,关系式必有且只有一个成立。
  2. ,必有,并且两者在不同时取等号时均成立。

则称这样的分拆为有理数的一个分划,记为。其中集合称为分划的下组,集合称为分划的上组

分类[编辑]

根据分划中是否有最大数、最小数,可以将分划分为三种类型:

  1. 中有最大数,中无最小数
  2. 中无最大数,中有最小数
  3. 中无最大数,中无最小数

可以证明,“中有最大数,中有最小数」的情况并不存在。证明:因为如果A有最大数a,B有最小数b,则根据分割的定义可知 a<b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数,并且a<(a+b)/2<b,因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中,这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。
第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种"空隙"(之间的界数),这个"空隙"所对应的数既不属于,也不属于,因此它不是有理数,它所对应的数就是无理数,因此说第3种情况的分划定义了一个无理数
作为一个直观的理解,我们可以把上面三种分化分别看成 ,而“中有最大数、中有最小数”的情况就是 ,中间的分划点 d 同时(不合法地)属于两边集合。

例子[编辑]

  1. 将所有小于或等于0的有理数划分为集合,将所有余下的有理数(即大于0的有理数)划分为集合,则是一个分划,并属于上述分类中的第1种情形。
  2. 将所有小于0的有理数划分为集合,将所有余下的有理数(即大于或等于0的有理数)划分为集合,则是一个分划,并属于上述分类中的第2种情形。
  3. 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数(即满足的数)划分到集合,将余下的有理数(即其平方大于3的正有理数)划分到集合,则是一个分划,并属于上述分类中的第3种情形,此时分划定义了无理数

参阅[编辑]

参考文献[编辑]