戴德金分割(英語:Dedekind cut)是數學中對於全序集的操作。對於給定的全序集
及其中某個元素
而言,將
分拆為兩個非空集合,使得兩者其一中所有元素(按照順序)均在
之前、另一真子集中所有元素均在
之後。
常見的是對於全體有理數的操作,即
。對於有理數
,將有理數集合分拆為兩個非空集合
和
,若
和
滿足條件:
,關係式
和
必有且只有一個成立。
,
,必有
,並且
和
兩者在不同時取等號時均成立。
則稱這樣的分拆為有理數的一個戴德金分割,記為
。其中集合
稱為戴德金分割的下組,集合
稱為戴德金分割的上組。
根據戴德金分割中
和
是否有最大數、最小數,可以將戴德金分割分為三種類型:
中有最大數,
中無最小數
中無最大數,
中有最小數
中無最大數,
中無最小數
可以證明,「
中有最大數,
中有最小數」的情況並不存在。證明如下:
如果
有最大數
,
有最小數
,則根據分割的定義可知
。但是
顯然也是有理數,並且
,因此
既不在
中, 也不在
中,這就與
是全體有理數矛盾。
第三種情況揭示了在有理數域中存在這樣的一種「空隙」(
和
之間的界數),這個「空隙」所對應的數既不屬於
,也不屬於
,因此它不是有理數,它所對應的數就是無理數,因此說第3種情況的戴德金分割定義了一個無理數。
作為一個直觀的理解,我們可以把上面三種分化分別看成
、
和
,而「
中有最大數、
中有最小數」的情況就是
,中間的分割點d同時(不合法地)屬於兩邊集合。
- 將所有小於或等於0的有理數劃分為集合
,將所有餘下的有理數(即大於0的有理數)劃分為集合
,則
是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第1種情形。
- 將所有小於0的有理數劃分為集合
,將所有餘下的有理數(即大於或等於0的有理數)劃分為集合
,則
是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第2種情形。
- 將所有小於或等於0、其平方小於或等於3的正有理數(即滿足
的數)劃分到集合
,將餘下的有理數(即其平方大於3的正有理數)劃分到集合
,則
是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第3種情形,此時戴德金分割
定義了無理數
。
定義大小[編輯]
假設無理數
由分劃
所確定,無理數
由分劃
所確定,則
- 若集合
或
,則稱無理數
與
相等,記為
。
- 若集合
(
),則稱無理數
大於
,記為
。
無理數小於(
)的概念可由大於(
)的概念定義,即
當且僅當
。如此得到實數系的大小關係,其性質有:
- 任意實數
,必有且只有下列關係式之一成立:
。
- 遞移性:若實數
,則
。對於小於(
)的情形,遞移性同樣成立。
所以該大小關係是全序關係。
參考文獻[編輯]