超实数 (非标准分析)

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超实数轴上的无穷小(ε)和无穷大(ω)(1/ε=ω/1)
各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

正數
自然数
正整數
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
代數數
实数
複數
高斯整數

负数
整数
负整數
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数

延伸

二元数
四元數
八元數
十六元數
超實數
大實數
上超實數

雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數英语Dual quaternion
超复数
超數
超現實數

其他

質數
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值

規矩數
可定義數
序数
超限数
p進數
數學常數

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

超實數系統是為了嚴格處理無窮量(無窮大量無窮小量)而提出的。自從微積分的發明以來,數學家、科學家和工程師等(包括牛頓萊布尼茲在內)就一直廣泛地用無窮小量等概念。超實數集,或稱為非標準實數集,記爲,是實數集  的一個擴張;其中含有一種數,它們大於所有如下形式的數:

有限個)

這可以解釋為無窮大;而它們的倒數就作為無窮小量 滿足如下性質:任何關於  的一階命題如果成立,則對  也成立。這種性質稱為傳達原理英语Transfer principle。舉例來說,實數集的加法交換律

是關於  的一階命題。因此以下命題同樣成立:

也就是說超實數集同樣滿足加法交換律。

無窮小量的概念是否嚴格呢?此問題可以追溯到古希臘數學:數學家們如歐幾里得阿基米德等,為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性,而采用了窮竭法等其它說明方式[1]。而亞伯拉罕·魯濱遜在1960年代證明了,

超實數系統是相容的,當且僅當實數系統是相容的

換句話說,如果對實數的使用没有懷疑,那也可以放心使用超實數。在處理數學分析的問題時對超實數、尤其是傳達原理的使用,通稱為非標準分析

参考资料[编辑]

  1. ^ Ball, p. 31
  • Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. New York: Dover Publications. 1960: 50–62. ISBN 0-486-20630-0.