超現實數

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在數學上，超現實數系統（英語：Surreal Numbers）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序體。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序體中最大的；其他的有序體，如有理數體、實數體、有理函數域、列維-奇維塔域、上超實數體和超實數體等，全都是超現實數體的子體。超現實數體也包含可達到的、在集合論裏構造過的所有超限序數。

超現實數樹的可視化。

超現實數是由約翰·何頓·康威（John Horton Conway）所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納（Donald Knuth）在他的書《研究之美》中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裏，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

概述

康威使用遞歸構造了超現實數，其中每個數都是兩個數集構成的序對，記為 $\{L|R\}$。這兩個集合要求 $L$ 里的每個元素都嚴格小於每個 $R$ 里的元素。不同的序對可能表達同樣的數字：$\{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2$。

整數及二進分數

讓我們先來看幾個簡單的例子。

$\{|\}=0$

$\{0|\}=1$

$\{1|\}=2$

$\{|0\}=-1$

$\{|-1\}=-2$

因此整數都是超現實數。（以上幾行是定義而非等式。）

$\{0|1\}={\frac {1}{2}}$

$\left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}$

$\left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}$

至此我們可以通過超現實數定義二進分數（分母為2的冪次的分數）。

其他實數

為了定義更多的實數，我們可以將使用無限的左右集合：${\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}$，$\pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}$，事實上可以同樣地使用二進制展開的方法定義出所有實數。

無窮數

根據歸納法，我們可以構造出 $\omega =\{0,1,2,3\ldots |\}$，$\omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}$ 等無窮大的數，${\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}$ 等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。

更多的數

我們定義 $P_{0}={0}$。

若 $x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}$ 且 $x\not \in P_{i}$，那麼 $x\in P_{i+1}$，這在直觀上等價於「$x$是在第$i$天中出生的」。

那麼我們可以觀察發現：

• $1,-1\in P_{1}$
• $2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}$
• $\pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }$
• $\omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}$
• $\omega +\pi \in P_{2\omega }$，其中$2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}$
• $\forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}$

我們將超現實數集合稱作 $\mathbb {No}$。

序關係

給定 $x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}$，我們（遞歸地）定義 $x\leq y$ 當且僅當以下兩命題同時成立：

• 沒有一個 $x_{L}\in X_{L}$ 符合 $y\leq x_{L}$，
• 沒有一個 $y_{R}\in Y_{R}$ 符合 $y_{R}\leq x$。

那麼可以自然地定義 $x<y,x>y,x=y,x\geq y$。可以證明，這樣的二元關係是一個全序關係。

我們分別將 $x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0$ 稱為 $x$ 負、 $x$ 正、 $x$ 非正、 $x$ 非負。

我們定義 $x\|y$ 表示 $x\leq y$ 與 $y\leq x$ 同時不成立。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在，但是這個關係會在之後的博弈章節出現。

運算

加法

我們定義超現實數之間的加法為 $x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}$，其中 $X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}$。

加法反元素

我們定義負號（加法反元素）為 $-x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}$，其中 $-X=\left\{-x|x\in X\right\}$。

可以驗證這兩個運算構成了（真類上的）阿貝爾群。

乘法

我們定義乘法運算為${\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}$，其中 $XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}$。

乘法反元素

我們定義（正數的）乘法反元素為${\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}$，這樣除法就是 ${\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)$。我們可以發現這個定義是遞歸的，但是實際上這個數字是良定義的：我們取${\textstyle y=3=\{2|\}}$ 那麼 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ 會有一個 ${\textstyle 0}$ 作為左項，導致了${\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}$ 會是一個右項。這又意味着 ${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$ 作為左項、${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$ 作為右項，以此類推，所以我們有${\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$ （考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到 ${\frac {1}{3}}$，因此是相容的）。

對於負數，我們定義 ${\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)$。

子集對應

有理數、實數、序數分別是超現實數的子集。

有理數

所有二進分數都可以定義為超現實數，而所有分數都可以表示為兩個整數之比，因此所有有理數都可以表示為超現實數。

實數

在定義出了有理數之後，使用戴德金分割可以立刻將實數映射到超現實數中。

假設$x\in \mathbb {R} ,x=A|A'$，其中 $A,A'\subset \mathbb {Q}$，那麼立刻可知存在 $X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}$ 是 $x$ 的一個超現實數表示，其中 $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No}$ 是有理數到超現實數的域同態。

序數

我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合。所有序數的全體記為$\mathbb {Ord}$，那麼我們有：

• $f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}$

這樣的同態可以保持序關係的結構，但是並不能保證算術的一一對應，比如 $\omega -1$ 這一式子的值在序數中的結果是 $\omega$，而在超現實數中則是 $\{0,1,2,\ldots |\omega \}$.

博弈

如果去除超現實數定義中對所有 $L<R$ 的約定，那麼這樣（遞歸）定義出來的真類被稱做遊戲。對其仍然可以（一模一樣的）定義加法、加法反元素以及比較。

顯然，所有的超現實數都是遊戲，但並非所有遊戲都是超現實數，例如 $\star =\{0|0\}$ 就不是，其滿足 $\star \|0$。

可以發現，所有的遊戲都體現了一個兩人輪流、確定、公開的博弈遊戲，其中左集合表示第一位玩家（下稱左玩家）可以走到的局面，右集合則表示第二位玩家（下稱右玩家）的選擇，不能操作者負。

兩個遊戲的和的意義就是同時進行兩個遊戲，而每個玩家選擇其中一個進行操作，不能操作者負。

我們可以發現，這個遊戲的勝負取決於 $G$ 和 $0$ 的相對關係。

• 若 $G=0$，則後手必勝。
• 若 $G>0$，則左玩家必勝。
• 若 $G<0$，則右玩家必勝。
• 若 $G\|0$，則先手必勝（英語：fuzzy game）。

有以下這些特殊的遊戲：

• $\star =\{0|0\}$
• $\uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}$
• $\pm 1=\{1|-1\}$

可以發現，關於他們有這麼幾個性質：

• $\star \|0$
• $\forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i$
• $\forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x$ （比所有超現實數更接近0）
• $\star +\star =\uparrow +\downarrow =0$
• $(\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0$

可以用於分析複雜的遊戲。

暫譯術語

• 超現實數（Surreal）
• 無窮量（Infinitesimal）
• 格羅滕迪克宇集