反正弦

反正弦

性質
奇偶性	奇
定義域	[-1, 1]
到達域	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$
周期	N/A
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	${\frac {\pi }{2}}$
最小值	$-{\frac {\pi }{2}}$
其他性質
渐近线	N/A
根	0

反正弦（arcsine， $\arcsin$ ， $\sin ^{-1}$ ）是一種反三角函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。正弦函數不是一個對射函數（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有同界角），故無法有反函數，但你可以限制其定義域，因此，它是單射和滿射也是可逆的。按照定義，我們將實數的定義域限制在區間 $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ 中的正弦函數，在原始的定義中，若輸入值不在區間 $[-1,1]$ ，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間 $[-1,1]$ ，將傳回複數。

命名[编辑]

反正弦的符號是 $\arcsin$ ，也常常計作 $\sin ^{-1}$ ，但這樣其實是不明確的，因為，可能會和指數混淆，以致於被當成倒數，但是倒數也有自己的寫法，例如 $\sin$ 倒數是 $\csc$ ，因此不易和 $\sin ^{-1}$ 混淆。另外在某些電算器的按鍵或電腦的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。

定義[编辑]

原始的定義是將正弦函數限制在 $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ 的反函數，得到如下定義域和值域：

\arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

利用自然對數可將定義推廣到整個複數集：

\arcsin x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,

拓展到複數的反正弦函數

運算[编辑]

他的微分是：

{\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

\arcsin x=\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\cdots

.

由於對稱關係保持負的參數，根據定義的奇函數，存在如下等式： $\arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x$

另外，反正弦的和差也可以核定成一個反正弦來表達：

\arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}

con $X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)$

和差公式：

$\arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)$