反正弦 |
 |
性質 |
奇偶性 | 奇 |
定義域 | [-1, 1] |
到達域 | |
周期 | N/A |
特定值 |
當x=0 | 0 |
當x=+∞ | N/A |
當x=-∞ | N/A |
最大值 | |
最小值 | |
其他性質 |
渐近线 | N/A |
根 | 0 |
反正弦(arcsine,
,
)是一種反三角函數。在三角學中,反正弦被定義為一個角度,也就是正弦值的反函數。正弦函數不是一個對射函數(即多個值可能只得到一個值,例如1和所有同界角),故無法有反函數,但你可以限制其定義域,因此,它是單射和滿射也是可逆的。按照定義,我們將實數的定義域限制在區間
中的正弦函數,在原始的定義中,若輸入值不在區間
,是沒有意義的,但是三角函數擴充到複數之後,若輸入值不在區間
,將傳回複數。
反正弦的符號是
,也常常計作
,但這樣其實是不明確的,因為,可能會和指數混淆,以致於被當成倒數,但是倒數也有自己的寫法,例如
倒數是
,因此不易和
混淆。另外在某些電算器的按鍵或電腦的編程語言中,反正弦會以asin或asn表示。
原始的定義是將正弦函數限制在
的反函數,得到如下定義域和值域:
![\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7f827ec0fecb3f314ba32e6fe8320742e669ba)
利用自然對數可將定義推廣到整個複數集:

他的微分是:

.
由於對稱關係保持負的參數,根據定義的奇函數,存在如下等式:
另外,反正弦的和差也可以核定成一個反正弦來表達:

con
和差公式:
倍變數公式:
per 0 ≤ kx ≤ 1
![{\displaystyle \arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bf0ac1ca80348cb47347ee51863067a3fa03c1)