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二項式分布

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二項分布
概率质量函數
Probability mass function for the binomial distribution
累積分布函數
Cumulative distribution function for the binomial distribution
记号 B(n, p)
参数 试验次数 (整数)
成功概率 (实数)
值域
概率质量函数
累積分布函數
期望值
中位數 之一
眾數
方差
偏度
峰度
矩生成函数
特徵函数

概率论统计学中,二项分布(英語:Binomial distribution)是独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上,当时,二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异二项试验的基础。

详述[编辑]

概率质量函数[编辑]

一般來說,若随机变量服从参数为的二项分布,我们记作。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出:

对于,其中

二项式系数(这就是二项分布的名称的由来),又记为,或。该公式可以用以下方法理解:我们希望有次成功()和次失败。然而,次成功可以在次试验的任何地方出现,而把次成功分布在次试验中共有个不同的方法。

在制造二项分布概率的参考表格时,通常表格中只填上个值。这是因为时的概率可以从它的补集计算出:

因此,我们要看另外一个和另外一个(二项分布一般不是对称的)。然而,它的表现不是任意的。总存在一个整数,满足:

作为的函数,表达式时单调递增,时单调递减,只有当是整数时例外。在这时,有两个值使达到最大:是伯努利试验的最可能的结果,称为众数。注意它发生的概率可以很小。

累积分布函数(概率分布函数)[编辑]

累积分布函数可以表示为:

其中是小于或等于最大整数

它也可以用正则化不完全贝塔函数来表示:

期望和方差[编辑]

如果(也就是说,是服从二项分布的随机变量),那么期望值

方差

这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果:1和0,前者发生的概率为,后者的概率为。该试验的期望值等于。该试验的方差也可以类似地计算:.

一般的二项分布是次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和:

众数和中位数[编辑]

通常二项分布众数等于,其中 取整函数。然而,当是整数且不等于0或1时,分布有两个众数:。当等于0或1时,众数相应地等于0或。这些情况可以综述如下:

一般地,没有一个单一的公式可以求出二项分布的中位数,甚至中位数可能是不唯一的。然而有几个特殊的结果:

  • 如果是整数,那么平均数、中位数和众数相等,都等于[1][2]
  • 任何中位数都位于区间内。[3]
  • 中位数不能离平均数太远:[4]
  • 如果,或,或(除了是奇数的情况以外),那么中位数是唯一的,且等于[3][4]
  • 如果,且是奇数,那么区间中的任何数都是二项分布的中位数。如果是偶数,那么是唯一的中位数。

两个二项分布的协方差[编辑]

如果有两个服从二项分布的随机变量,我们可以求它们的协方差。利用协方差的定义,当时我们有

第一项仅当都等于1时非零,而分别为的概率。定义都等于1的概率,便得到

对于n次独立的试验,我们便有

如果是相同的变量,便化为上面的方差公式。

与其他分布的关系[编辑]

二项分布的和[编辑]

如果,且相互独立,那么也服从二项分布;它的分布为

伯努利分布[编辑]

伯努利分布是二项分布在时的特殊情况。的意思是相同的。相反,任何二项分布都是次独立伯努利试验的和,每次试验成功的概率为

泊松二项分布[编辑]

二项分布是泊松二项分布的一个特殊情况。泊松二项分布次独立、不相同的伯努利试验()的和。如果服从泊松二项分布,且,那么

正态近似[编辑]

时的二项分布以及正态近似

如果足够大,那么分布的偏度就比较小。在这种情况下,如果使用适当的连续性校正,那么的一个很好的近似是正态分布

越大(至少30),近似越好,当不接近0或1时更好。[5]不同的经验法则可以用来决定是否足够大,以及是否距离0或1足够远:

  • 一个规则是都必须大于5。

泊松近似[编辑]

当试验的次数趋于无穷大,而乘积固定时,二项分布收敛于泊松分布。因此参数为的泊松分布可以作为二项分布的近似,如果足够大,而足够小。[6]

极限[编辑]

  • 趋于趋于0,而固定于,或至少趋于时,二项分布趋于期望值为λ的泊松分布
  • 趋于固定时,
的分布趋于期望值为 0、方差为 1的正态分布。这个结果是中心极限定理的一个特殊情况。

例子[编辑]

一个简单的例子如下:掷一枚骰子十次,那么掷得4的次数就服从的二项分布。

參見[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Neumann, P. Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung. Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden. 1966, 19: 29–33 (德语). 
  2. ^ Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", The Mathematical Gazette 94, 331-332.
  3. ^ 3.0 3.1 Kaas, R.; Buhrman, J.M. Mean, Median and Mode in Binomial Distributions. Statistica Neerlandica. 1980, 34 (1): 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x. 
  4. ^ 4.0 4.1 Kais Hamza. The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistics & Probability Letters: 21–25. [2018-04-02]. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-u. (原始内容存档于2020-12-15). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  5. ^ Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley. 1978: 130. 
  6. ^ NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts"页面存档备份,存于互联网档案馆), e-Handbook of Statistical Methods.