梅欽類公式

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梅钦类公式(英语:Machin-like formula)是数学中计算圆周率的一个常用技巧,它是梅钦公式的推广,梅钦公式的形式为

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}

梅钦依据此公式,把圆周率计算到一百多位小数。


梅钦类公式的形式为:

   

c_0 \frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^N c_n \arctan \frac{a_n}{b_n}

 

 

 

 

(1)

   

其中, a_nb_n 为正 整数,且 a_n < b_nc_n 为非零整数,且c_0 为正整数。

梅钦类公式的应用可结合反正切函数泰勒级数展开:

   

\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ...

 

 

 

 

(4)

   

导出[编辑]

根据角的和差公式

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

 -\frac{\pi}{2} < \arctan \frac{a_1}{b_1} + \arctan \frac{a_2}{b_2} < \frac{\pi}{2}.

   

\arctan \frac{a_1}{b_1} + \arctan \frac{a_2}{b_2} = \arctan\frac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2},

 

 

 

 

(2)

   

反复应用这一方程,可得到所有的梅欽類公式,比如最初的梅欽公式:

2 \arctan \frac{1}{5}
= \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{5}
= \arctan \frac {1*5 + 1*5}{5*5 - 1*1}
= \arctan \frac {10}{24}
= \arctan \frac {5}{12}
4 \arctan \frac{1}{5}
= 2 \arctan \frac{1}{5} + 2 \arctan \frac{1}{5}
= \arctan \frac{5}{12} + \arctan \frac{5}{12}
= \arctan \frac{5*12 + 5*12}{12*12 - 5*5}
= \arctan \frac{120}{119}
4 \arctan \frac{1}{5} - \frac{\pi}{4}
= 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{1}
= 4 \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{-1}{1}
= \arctan \frac{120}{119} + \arctan \frac{-1}{1}
= \arctan \frac{120*1 + (-1)*119}{119*1 - 120*(-1)}
= \arctan \frac{1}{239}
\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}

參考文獻[编辑]