π的莱布尼茨公式

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数学领域,π莱布尼茨公式说明

右边的展式是一个无穷级数,被称为莱布尼茨级数,这个级数收敛。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作:


证明[编辑]

考虑下面的幂级数

对等式两边积分可得到反正切幂级数

x = 1 代入,便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此,需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan−1(1)。一种方法是利用交替级数判别法,然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan−1(1)。然而,也可以用一个完全初等的证明。

初等证明[编辑]

考虑如下分解

对于|x| < 1,右侧的分式是余下的几何级数的和。然而,上面的方程并没有包含无穷级数,并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得:

时,除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时,积分项收敛到0:

 当 

这便证明了莱布尼茨公式。


参考文献[编辑]

  • Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.

外部链接[编辑]