在数学 领域，π 的莱布尼茨公式 说明
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
−
⋯
{\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;}
右边的展式是一个无穷级数 ，被称为莱布尼茨级数 ，这个级数收敛 到
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
格雷戈里-莱布尼茨级数 用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里 。使用求和 符号可记作：
π
4
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
{\displaystyle \;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}
考虑下面的幂级数
1
−
x
2
+
x
4
−
x
6
+
x
8
−
⋯
=
1
1
+
x
2
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!}
对等式两边积分 可得到反正切 的幂级数 ：
x
−
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+
x
9
9
−
⋯
=
tan
−
1
x
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!}
将x = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径 以内。因此，需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan−1 (1)。一种方法是利用交替级数判别法 ，然后使用阿贝尔定理 证明级数收敛到tan−1 (1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。
初等证明 [ 编辑 ] 考虑如下分解
1
1
+
x
2
=
1
−
x
2
+
x
4
−
⋯
+
(
−
1
)
n
x
2
n
+
(
−
1
)
n
+
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!}
对于|x | < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x 成立。上式两端从0到1积分可得：
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
⋯
+
(
−
1
)
n
2
n
+
1
+
(
−
1
)
n
+
1
∫
0
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
d
x
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!}
当
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty \!}
∫
0
1
x
2
n
+
2
1
+
x
2
d
x
<
∫
0
1
x
2
n
+
2
d
x
=
1
2
n
+
3
→
0
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\;<\;\int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!}
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty \!}
这便证明了莱布尼茨公式。
参考文献 [ 编辑 ]
Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery , A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5 , pages 28–30.
外部链接 [ 编辑 ] 
