π的莱布尼茨公式

在数学领域，π的莱布尼茨公式说明

\;{\frac {\pi }{4}}\!=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;

右边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到 ${\frac {\pi }{4}}$ ${\frac {\pi }{4}}$ 。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：

 $\;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$  $\;{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

证明[编辑]

考虑下面的幂级数

1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!

对等式两边积分可得到反正切的幂级数：

x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!

将x = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ⁄ 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan⁻¹(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan⁻¹(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。

考虑如下分解

{\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!

对于|x| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得：

{\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!

当 $n\rightarrow \infty \!$ $n\rightarrow \infty \!$ 时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛到0：

\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\;<\;\int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\!

当

n\rightarrow \infty \!

这便证明了莱布尼茨公式。

Jonathan Borwein, David Bailey & Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-136-5, pages 28–30.