雅可比矩陣

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向量分析中,雅可比矩陣是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣,其行列式稱為雅可比行列式

代數幾何中,代數曲線雅可比行列式表示雅可比簇:伴隨該曲線的一個代數群,曲線可以嵌入其中。

它們全部都以數學家卡爾·雅可比命名;英文雅可比行列式"Jacobian"可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]

雅可比矩陣[編輯]

假設某函數從 映到 , 其雅可比矩陣是從 的線性映射,其重要意義在於它表現了一個多變數向量函數的最佳線性逼近。因此,雅可比矩陣類似於單變數函數的導數。 假設F:Rn→Rm 是一個從n維歐氏空間映射到到m維歐氏空間的函數。這個函數由m個實函數組成: y1(x1, ..., xn), ..., ym(x1, ...,xn)。這些函數的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣(m by n),這就是所謂的雅可比矩陣:

此矩陣用符號表示為:

,或者

這個矩陣的第i行是由梯度函數的轉置yi(i=1,...,m)表示的

如果p 中的一點,Fp點可微分,根據高等微積分, JF(p) 是在這點的導數。在此情況下,JF(p)這個線性映射即 在點p附近的最優線性逼近,也就是說當 x 足夠靠近點p時,我們有

例子[編輯]

球坐標系到直角坐標系的轉化由F函數給出:R × [0,π] × [0,2π] → R3

此坐標變換的雅可比矩陣是

R4的f函數:

其雅可比矩陣為:

此例子說明雅可比矩陣不一定為方陣。

在動力系統中[編輯]

考慮形為x' = F(x)的動力系統F : RnRn。如果F(x0) = 0,那麼x0是一個駐點(又稱臨界點)。系統接近駐點時的行為跟JF(x0)的特徵值相關。

雅可比行列式[編輯]

如果m = n,那麼F是從n維空間到n維空間的函數,且它的雅可比矩陣是一個方塊矩陣。於是我們可以取它的行列式,稱為雅可比行列式

在某個給定點的雅可比行列式提供了F在接近該點時的表現的重要信息。例如,如果連續可微函數Fp點的雅可比行列式不是零,那麼它在該點附近具有反函數。這稱為反函數定理。更進一步,如果p點的雅可比行列式是正數,則Fp點的取向不變;如果是負數,則F的取向相反。而從雅可比行列式的絕對值,就可以知道函數Fp點的縮放因子;這就是為什麼它出現在換元積分法中。

例子[編輯]

設有函數F : R3R3,其分量為:

則它的雅可比行列式為:

從中我們可以看到,當x1x2同號時,F的取向相反;該函數處處具有反函數,除了在x1 = 0和x2 = 0時以外。

參看[編輯]

外部連結[編輯]