雅可比矩陣

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向量分析中,雅可比矩陣是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣,其行列式稱為雅可比行列式

代數幾何中,代數曲線雅可比行列式表示雅可比簇:伴隨該曲線的一個代數群,曲線可以嵌入其中。

它們全部都以數學家卡爾·雅可比命名;英文雅可比行列式"Jacobian"可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]

雅可比矩陣[編輯]

假設某函數從 映到 , 其雅可比矩陣是從 的線性映射,其重要意義在於它表現了一個多變數向量函數的最佳線性逼近。因此,雅可比矩陣類似於單變數函數的導數。 假設是一個從維歐氏空間映射到到維歐氏空間的函數。這個函數由個實函數組成: 。這些函數的偏導數(如果存在)可以組成一個列的矩陣,這個矩陣就是所謂的雅可比矩陣:

此矩陣用符號表示為:

,或者

這個矩陣的第行是由梯度函數的轉置表示的

如果 中的一點,點可微分,根據高等微積分, 是在這點的導數。在此情況下,這個線性映射即 在點附近的最優線性逼近,也就是說當足夠靠近點時,我們有

例子[編輯]

球坐標系到直角坐標系的轉化由函數給出︰

此坐標變換的雅可比矩陣是

函數:

其雅可比矩陣為:

此例子說明雅可比矩陣不一定為方陣。

在動力系統中[編輯]

考慮形為動力系統。如果,那麼是一個駐點(又稱臨界點)。系統接近駐點時的行為跟特徵值相關。

雅可比行列式[編輯]

如果,那麼是從維空間到維空間的函數,且它的雅可比矩陣是一個方塊矩陣。於是我們可以取它的行列式,稱為雅可比行列式

在某個給定點的雅可比行列式提供了在接近該點時的表現的重要信息。例如,如果連續可微函數點的雅可比行列式不是零,那麼它在該點附近具有反函數。這稱為反函數定理。更進一步,如果點的雅可比行列式是正數,則點的取向不變;如果是負數,則的取向相反。而從雅可比行列式的絕對值,就可以知道函數點的縮放因子;這就是它出現在換元積分法中的原因。

例子[編輯]

設有函數,其分量為:

則它的雅可比行列式為:

從中我們可以看到,當同號時,的取向相反;該函數處處具有反函數,除了在時以外。

逆矩陣[編輯]

根據反函數定理,一個可逆函數(存在反函數的函數)的雅可比矩陣逆矩陣即為該函數的反函數雅可比矩陣。即,若函數在點的雅可比矩陣是連續且可逆的,則在點的某一鄰域內也是可逆的,且有

成立。相反,倘若雅可比行列式在某一個點不為零,那麽該函數在這個點的某一鄰域內可逆(存在反函數)。

一個多項式函數的可逆性與非經證明的雅可比猜想有關。其斷言,如果函數的雅可比行列式為一個非零實數(相當於其不存在複零點),則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。

參看[編輯]

外部連結[編輯]