隱函數

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數學中,隱式方程implicit equation)是形同關係,其中f多元函數。比如單位圓的隱式方程是

隱函數implicit function)是由隱式方程所隱含定義的函數,比如是由確定的函數。而可以直接用含自變量的算式表示的函數稱為顯函數,也就是通常所說的函數,如

隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會確定出隱函數。

例子[編輯]

反函數[編輯]

隱函數的一個常見類型是反函數。若f是一個函數,那麼f的反函數記作f−1, 是給出下面方程解的函數

x = f(y)

x表示y。這個解是

直觀地,通過交換f自變量和應變量的位置就可以得到反函數。換一種說法,反函數給出該方程對於y的解

例子

  1. 對數函數 ln(x) 給出方程xey = 0或等價的x = ey的解 y = ln(x)。 這裏 f(y) = ey 並且 f−1(x) = ln(x)。
  2. 朗伯W函數則可以解出 xy ey = 0的y值。

代數函數[編輯]

一個代數函數是滿足自身多項式係數的多項式方程的函數。例如,單變量 的代數函數給出一個方程中 的解。

其中系數 的多項式函數。

代數函數在數學分析代數幾何中扮演重要角色,我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例:

那麼 的顯函數解顯然是:

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來,它也可以直接利用隱函數來表達。

對於y的二次、三次和四次方程,可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這並不適用於包括五次在內的更高次數的方程(參見阿貝爾-魯菲尼定理),例如:

但是,我們仍然可以以隱函數 y = g(x) 的方式來表達。

隱函數的導數[編輯]

隱函數導數的求解一般可以採用以下方法:

方法一[編輯]

  • 把n元隱函數看作(n+1)元函數,通過多元函數偏導數的商求得n元隱函數的導數。

示例[編輯]

把1元隱函數看作2元函數,若欲求,對取全微分,可得,經過移項可得

(式中表示關於的偏導數,以此類推)。

把2元隱函數看作3元函數,若欲求,對取全微分,可得

由於所求為,令z為常數,即,經過移項可得

方法二[編輯]

  • 針對1元隱函數,把看作的函數,利用鏈式法則在隱函數等式兩邊分別對求導,再通過移項求得的值。
  • 針對2元隱函數,把看作的函數,利用鏈式法則在隱函數等式兩邊分別對求導,令,再通過移項求得的值。

示例[編輯]

  • 針對

  • 針對

  • 中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分,各項都以不同顏色分開(常數則以黑色表示)。

1.兩邊皆取其相應的導數,得出

2.移項處理。

3.提出導數因子。

4.移項處理。

5.完成。得出其導數為

6.選擇性步驟:因式分解

參見[編輯]