本页使用了标题或全文手工转换

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
Confusion grey.svg
提示:本条目的主题不是楊幂

幂運算英语:Exponentiation),又稱指數運算,一種數學運算,表示為bn,其中,b被稱為底數,而n被稱為指數,其結果為b自乘n次。同樣的,指將自乘次。把看作乘方的结果,叫做「n的m次幂」或「n的m次方」。

其中,n稱為「底數」,m稱為「指數」(寫成上標)。當不能用上標時,例如在編程語言電子郵件中,通常寫成n^mn**m,也可視為超運算,記為n[3]m,亦可以用高德納箭號表示法,寫成n↑m,讀作“n的m次方”。 當指數為1時,通常不寫出來,因為運算出的值和底數的數值一樣;指數為2時,可以讀作“n的平方”;指數為3時,可以讀作“n的立方”。

nm的意義亦可視為

起始值1(乘法的單位元)乘上底數(n)自乘指數(m)這麼多次。這樣定義了後,很易想到如何一般化指數0和負數的情況:除0外所有數的零次方都是1;指數是負數時就等於重複除以底數(或底數的倒數自乘指數這麼多次),即:

分數為指數的冪定義為,即xm次方开n方根

0的0次方目前數學家沒有給予正式的定義,部分領域中,如組合數學,常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。

冪不符合結合律交換律

因為十的次方很易計算,只需在後加零即可,所以科学记数法借助此簡化記錄數的方式;二的幂計算機科學中很有用。

重要的恆等式[编辑]

运算法则[编辑]

  • 同底数幂相乘,底数不变,指数相加:
  • 同底数幂相除,底数不变,指数相减:
  • 幂的乘方,底数不变,指数相乘:
  • 同指数幂相乘,指数不变,底数相乘:
  • 同指数幂相除,指数不变,底数相除:

其他等式[编辑]

运算律[编辑]

加法和乘法遵守交换律,比如:2+3 = 5 = 3+2,2×3 = 6 = 3×2,但是幂的运算不遵守交换律,,但是

同样,加法和乘法遵守结合律,比如:(2+3)+4 = 9 = 2+(3+4),(2×3)×4 = 24 = 2×(3×4),幂同样不遵守:,但是

幂的运算顺序通常由上到下:

整数指数幂[编辑]

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂[编辑]

表达式被称作a平方,因为边长为a的正方形面积是

表达式被称作a立方,因为邊长为a的正方体体积是

所以读作3的平方读作2的立方

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如,指数是5,底数是3,表示3反复相乘5次。

或者,整数指数幂可以递归地定义成:

指数是1或者0[编辑]

注意表示仅仅1个3的乘积,就等于3。

注意

继续,得到,所以

另一个得到此结论的方法是:通过运算法则

时,

  • 任何数的1次方是它本身。

负数指数[编辑]

我们定义任何不为0的数的-1次方等于它的倒数。

对于非零a定义。因为当时分母是0而没有意义。

这个定义是因为,当m=-n

因为已经定义了,所以

或者还可以像定义a0次方一样定义:

通过运算法则

时,可以约去分子得

负数指数还可以表示成1连续除以na。比如:

.

特殊数的幂[编辑]

10的幂[编辑]

十进制的计数系统中,10的幂写成1后面跟着很多个0。例如:

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如:299,792,458(真空中光速,单位是米每秒),可以写成 近似值 .

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字,比如:词头“千”就是 ,词头“毫”就是

2的幂[编辑]

1的幂[编辑]

1的任何次幂都为1

0的幂[编辑]

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1;而0的0次方是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。[1]但某些教科書表示0的0次方為無意義。[2]也有人主張定義為1。

负1的幂[编辑]

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂[编辑]

一个大于1的数的幂趋于无穷大,一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

1的幂永远都是1

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷,那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是:

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂[编辑]

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

  • 有理数幂可以通过N次方根定义,任何非0实数次幂都可以这样定义
  • 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根[编辑]

从上到下:

一个an次方根是xx使

如果a是一个正实数,n是正整数,那么方程只有一个正实数。 这个根被称为an次方根,记作:,其中叫做根号。或者,an次方根也可以写成. 例如

当指数是时根号上的2可以省略,如:

有理数幂[编辑]

有理数指数通常可以理解成

e的幂[编辑]

这个重要的数学常数e,有时叫做欧拉数,近似2.718,是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的:

指数函数的定义是:

可以很简单地证明e的正整数k次方是:

实数指数幂[编辑]

y = bx對各種底數b的圖像,分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数,任意实数指数x可以定义成[3]

例如:

于是

实数指数幂通常使用对数来定义,而不是近似有理数。

自然对数是指数函数反函数。 它的定义是:对于任意,满足

根据对数和指数运算的规则:

这就是实数指数幂的定义:

实数指数幂的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数,这种定义更加常用。

负实数的实数幂[编辑]

如果a是负数且n偶数,那么无实数解。 如果a是负数且n奇数,那么有一个负数解。

使用对数和有理数指数都不能将(其中a是负实数,k实数)定义成实数。在一些特殊情况下,给出一个定义是可行的:负指数的整数指数幂是实数,有理数指数幂对于n是奇数)可以使用n次方根来计算,但是因为没有实数x使,对于n是偶数)时必须使用虚数单位i

使用对数的方法不能定义a ≤ 0时的为实数。实际上,对于任何实数x都是正的,所以对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数a因为它依赖于连续性。函数对于任何正的有理数a是连续的,但是对于负数a,函数f在有些有理数r上甚至不是连续的。

例如:当a = -1,它的奇数次根等于-1。所以如果n是正奇数整数,m是奇数,m是偶数。虽然有理数q使集合稠密集,但是有理数q使集合也是。所以函数在有理数域不是连续的。

正实数的复数幂[编辑]

e的虚数次幂[编辑]

指数函数ez可以通过(1 + z/N)NN趋于无穷大时的极限来定义,那么e就是(1 + /N)N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 + /N)N的值通过N重复增加在复数平面上展示,最终结果就是(1 + /N)N的准确值。可以看出,随着N的增大,(1 + /N)N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式

复数运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解(x是实数)。想象一个直角三角形(0, 1, 1 + ix/n)(括号内是复数平面内三角形的三个顶点),对于足够大的n,这个三角形可以看作一个扇形,这个扇形的中心角就等于x/n弧度。对于所有k,三角形(0, (1 + ix/n)k, (1 + ix/n)k+1)互为相似三角形。所以当n足够大时(1 + ix/n)n的极限是复数平面上的单位圆x弧度的点。这个点的极坐标(r, θ) = (1, x),直角坐标是(cos x, sin x)。所以。这就是欧拉公式,它通过复数的意义将代数学三角学联系起来了。

等式的解是一个整数乘以2[4]

更一般地,如果,那么的每一个解都可以通过将2的整数倍加上b得到:

这个复指数函数是一个有周期2周期函数

更简单的:

三角函数[编辑]

根据欧拉公式三角函数余弦和正弦是:

历史上,在复数发明之前,余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

使用了复数指数幂之后,很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂[编辑]

可以分解成。其中决定了的方向

正实数的复数幂[编辑]

如果a是一个正实数,z是任何复数,定义成,其中x = ln(a)是方程的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如:

函數[编辑]

當函數名後有上標的數(即函數的指數),一般指要重複它的運算。例如。特別地,反函數

三角函数的情況有所不同,一個正指數應用於函數的名字時,指答案要進行乘方運算,而指數為-1時则表示其反函數。例如:表示。因此在三角函數時,使用來表示的反函數

抽象代數[编辑]

计算自然数(正整数)nan的算法[编辑]

最快的方式计算,当n是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的,和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

偽代碼

   1. 1 → y, n → k, a → f
   2.若k不為0,執行3至6
     3.若k為奇數, y * f → y
     4. k [[位操作#移位|右移]]1位(即k / 2 → k ,小數點無條件捨去)
     5. f * f → f
     6.回到2
   7.傳回y

C/C++语言中,你可以写如下算法:

   double power (double a, unsigned int n)
   {
        double y = 1;
        double f = a;
        unsigned int k = n;
        while (k != 0) {
           if (k % 2 == 1) y *= f;
           k >>= 1;
           f *= f;
        }
        return y;
   }

此算法的時間複雜度,比普通算法快(a自乘100次,時間複雜度),在n較大的時候更為顯著。

例如計算,普通算法需要算100次,上述算法則只需要算7次。若要計算可先以上述算法計算,再作倒數。

註釋[编辑]

  1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
  2. ^ 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35:a的0次方=1(a≠0)(註:0的0次方為無意義)
  3. ^ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
  4. ^ This definition of a principal root of unity can be found in:
    • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7.  Online resource
    • Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6.  Defined on page 351, available on Google books.
    • "Principal root of unity", MathWorld.

另見[编辑]

外部連結[编辑]