圆幂定理

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圓冪定理(英語:circle power theorem),是平面幾何中的一個定理。這定理指出,給定一個 Γ 以及一點 P,從該點引出兩條割線,分別與 Γ 相交於 AB 以及 CD,則有

這個乘積,是 P 對於 Γ圓冪(英語:circle power),故定理以此為名。

圓冪定義[编辑]

在圖中,O 是圓心,OA = OT 是半徑 r(藍色),OP 是點到圓心的距離 s(橙色),PT 是切線(紅色),PMN 是割線(黑色)。

平面上任意一點 P ,以及半徑為 r 、圓心為 O 的圓,則定義圓冪 h 為:

其中 s = OP[1]

從這個定義可知,若 P 在圓內,則圓冪為負數;若 P 在圓外,則圓冪為正數;若 P 在圓周上,則有圓冪等於零。

圓冪又可等價地定義為:從該點穿過圓心的割線,與圓所作的兩個交點,與該點距離的乘積。也就是說:

理由如下:

定理內容[编辑]

圓冪定理有三個變體,分別是「交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。[2]

交弦定理[编辑]

在圖中,圓心為 O,圓上有兩弦 ABCD,相交於 E

設有一圓,圓上有兩條弦 ABCD,它們相交於 E,則有

這個乘積,是 P 的圓冪的相反數 h。這是因為圓冪為非正數,而線段的乘積為正數。

割線定理[编辑]

設有一圓,圓外有一點 P,引出兩條割線,分別與圓相交於 AB 以及 CD,則有

這個乘積,是 P 的圓冪 h

切割線定理[编辑]

設有一圓,圓外有一點 P,引出一條割線,與圓相交於 AB ,又引出一條切線,與圓相切於 T,則有

這個乘積,同樣是 P 的圓冪 h

證明[编辑]

交弦定理[编辑]

從同弓形圓周角的性質可知,ΔAEDΔCEB相似三角形,因此

整理可得

證明完畢。

割線定理[编辑]

從同弓形內圓周角的性質可知,ΔPADΔPCB 是相似三角形,因此

整理可得

證明完畢。

切割線定理[编辑]

從內錯弓形圓周角的性質可知,ΔPATΔPTB 是相似三角形,因此

整理可得

證明完畢。

參考資料[编辑]

  1. ^ Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry (2nd Edition), New York: Wiley, 1969