圆幂定理

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圆幂定理(英语:circle power theorem),是平面几何中的一个定理。这定理指出,给定一个 Γ 以及一点 P,从该点引出两条割线,分别与 Γ 相交于 AB 以及 CD,则有

这个乘积,是 P 对于 Γ圆幂(英语:circle power),故定理以此为名。

圆幂定义[编辑]

在图中,O 是圆心,OA = OT 是半径 r(蓝色),OP 是点到圆心的距离 s(橙色),PT 是切线(红色),PMN 是割线(黑色)。

平面上任意一点 P ,以及半径为 r 、圆心为 O 的圆,则定义圆幂 h 为:

其中 s = OP[1]

从这个定义可知,若 P 在圆内,则圆幂为负数;若 P 在圆外,则圆幂为正数;若 P 在圆周上,则有圆幂等于零。

圆幂又可等价地定义为:从该点穿过圆心的割线,与圆所作的两个交点,与该点距离的乘积。也就是说:

理由如下:

定理内容[编辑]

圆幂定理有三个变体,分别是“交弦定理”、“割线定理”及“切割线定理”。[2]

交弦定理[编辑]

在图中,圆心为 O,圆上有两弦 ABCD,相交于 E

设有一圆,圆上有两条弦 ABCD,它们相交于 E,则有

这个乘积,是 P 的圆幂的相反数 h。这是因为圆幂为非正数,而线段的乘积为正数。

割线定理[编辑]

设有一圆,圆外有一点 P,引出两条割线,分别与圆相交于 AB 以及 CD,则有

这个乘积,是 P 的圆幂 h

切割线定理[编辑]

设有一圆,圆外有一点 P,引出一条割线,与圆相交于 AB ,又引出一条切线,与圆相切于 T,则有

这个乘积,同样是 P 的圆幂 h

证明[编辑]

交弦定理[编辑]

从同弓形圆周角的性质可知,ΔAEDΔCEB相似三角形,因此

整理可得

证明完毕。

割线定理[编辑]

从同弓形内圆周角的性质可知,ΔPADΔPCB 是相似三角形,因此

整理可得

证明完毕。

切割线定理[编辑]

从内错弓形圆周角的性质可知,ΔPATΔPTB 是相似三角形,因此

整理可得

证明完毕。

参考资料[编辑]

  1. ^ Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry (2nd Edition), New York: Wiley, 1969