圆幂定理
外观
圆幂定理(英语:circle power theorem),是平面几何中的一个定理。这定理指出,给定一个圆 Γ 以及一点 P,从该点引出两条割线,分别与 Γ 相交于 A、B 以及 C、D,则有
这个乘积,是 P 对于 Γ 的圆幂(英语:circle power),故定理以此为名。
圆幂定义
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平面上任意一点 P ,以及半径为 r 、圆心为 O 的圆,则定义圆幂 h 为:
- 。[1]
从这个定义可知,若 P 在圆内,则圆幂为负数;若 P 在圆外,则圆幂为正数;若 P 在圆周上,则有圆幂等于零。
圆幂又可等价地定义为:从该点穿过圆心的割线,与圆所作的两个交点,与该点距离的乘积。也就是说:
- 。
理由如下:
- 。
变体
[编辑]圆幂定理有三个变体,分别是“相交弦定理”、“割线定理”及“切割线定理”。[2]
相交弦定理
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Chord_2.svg/200px-Chord_2.svg.png)
设有一圆,圆上有两条弦 AB 及 CD,它们相交于 E,则有
这个乘积,是 E 的圆幂的相反数 −h。这是因为圆幂为非正数,而线段的乘积为正数。
割线定理
[编辑]设有一圆,圆外有一点 P,引出两条割线,分别与圆相交于 A、B 以及 M、N,则有
这个乘积,是 P 的圆幂 h。
切割线定理
[编辑]设有一圆,圆外有一点 P,引出一条割线,与圆相交于 A、B ,又引出一条切线,与圆相切于 T,则有
这个乘积,同样是 P 的圆幂 h。
证明
[编辑]交弦定理
[编辑]从同弓形内圆周角的性质可知,ΔAED 与 ΔCEB 是相似三角形,因此
整理可得
证明完毕。
割线定理
[编辑]从同弓形内圆周角的性质可知,ΔPAM 与 ΔPNB 是相似三角形,因此
整理可得
证明完毕。
切割线定理
[编辑]从内错弓形圆周角的性质可知,ΔPAT 与 ΔPTB 是相似三角形,因此
整理可得
证明完毕。
参见
[编辑]- 根轴——到两圆圆幂相等的点的轨迹
参考资料
[编辑]- ^ Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry (2nd Edition), New York: Wiley, 1969