平方

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
y=x^2

代數中,一個平方是此數與它的本身相乘所得的乘積,一個元素平方是此元素與它的本身相乘所得的乘積,記作x2。平方也可視為求指數為2的的值。若x是正實數,這個乘積相當於一個邊長為x正方形的面積;如果x虛數,則這個乘積為負數。如果x為非虛數的複數,則這個乘積也是複數。

如果實數y = x2,就說yx的平方;如果同時x是非負數,那麼x就是y平方根。如果一個整數 n 是某個整數的平方,則稱 n 為一個完全平方數或平方數。有理數的平方一定是有理數,無理數的平方可以是有理數,也可以是無理數。

平方和[編輯]

平方和通常指一些正整數的平方之和,整數的個數可以是有限個,也可以是無限多。 正整數的平方和公式如下:(可用數學歸納法證明)

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

證明:n=1時,1^2=\frac{1 \times 2 \times 3}{6}=1成立
n=2時,1^2+2^2=\frac{2 \times 3 \times 5}{6}=5成立
n=k時成立,即1^2+2^2+3^2+....+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}成立
n=k+1時,
1^2+2^2+3^2+....+k^2+(k+1)^2
=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2
=\frac{(k+1)(2k^2+k)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}
=\frac{(k+1)[(2k^2+k)+6(k+1)]}{6}
=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6))}{6}
=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}
n=k+1時亦成立,原式得證。

也可以用組合數公式來推導這個公式。

參見[編輯]