1 − 2 + 4 − 8 + …

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數學中,1 − 2 + 4 − 8 + …是一個无穷级数,它的每一项都是2的幂而加減號則是交錯地排列。作为几何级数, 它以 1 为首项,-2为公比。

\sum_{k=0}^{n} (-2)^k

作为实数级数,它发散到无穷,所以在一般意义下它的和不存在。在更广泛的意义下,这一级数有一個廣義的和為⅓。

歷史上的爭論[编辑]

戈特弗里德·莱布尼茨於1673年已經細想過1 − 2 + 4 − 8 + …這個交替的发散级数。他認為經過從右邊或左邊相減,分別可以得到正無限及負無限,所以兩個答案都是錯的,而整個級數必為有限:

"如果两个结论里没有一个是可被接受的,或者说因为无法判断哪个结论可被接受,自然一般会选择处在两个结论中间的结论,所以这个级数和是一个有限数。"

莱布尼兹并不是非常肯定这个级数有,但是他根据墨卡托方法推测它和⅓有关系。[1] 在十八世纪,“一个数项级数的和可能等于一个并不是其逐项叠加的结果的有限数”是一个十分普通的观点,尽管现代数学观点同当时的观点并没有任何分别。[2]

克里斯提安·沃尔夫(Christian Wolff)在1712年阅读了莱布尼兹对格兰迪级数的解法后,[3] 他对此解法非常满意,并设法通过这种方法去寻求更多解决发散级数问题的数学方法(如 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − …)。简明地说,如果某人以倒数第二项的函数来表示级数的部分和的话,他得到的结果会是(4m + 1)/3 或者 (−4n + 1)/3. 这些值的平均值是(2m − 2n + 1)/3, 然后假设m = n ,讨论到无限后就得到了级数和是 ⅓ 。莱布尼兹的直觉在这时让他避免了在沃尔夫的解法上费力气。他给沃尔夫回信,说他的解法有点意思,但是因几个原因而无效。 相邻的两个部分和并不收敛到任何一个特定值上,同时在任何有限条件下都有n = 2m,而不是n = m。总之,可求和级数的项最终都应收敛到零;即使 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成这种级数的极限。莱布尼兹劝沃尔夫再好好考虑一下,认为他说不定“可以搞出一些于他于科学都有价值的东西。”[4]

现代方法[编辑]

等比数列[编辑]

任何具有规律性、线性和稳定性的求和方法都能对等比数列(几何级数)求和

\sum_{k=0}^{n} a r^k = \frac{a}{1-r}.

在这种情况下 a = 1 且 r = −2,所以级数和是 ⅓。

欧拉求和[编辑]

在他1755年的《Institutiones》上,莱昂哈德·欧拉采用了现在被称为欧拉变换的方式处理1 − 2 + 4 − 8 + …,得到了收敛级数½ − ¼ + ⅛ − 1/16 + …。因为後者的和为⅓,欧拉得出结论,认为1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓[5]他对於无穷级数的看法不太遵循现代方法。如今,我们称1 − 2 + 4 − 8 + …欧拉可求和,其欧拉和是⅓。[6]

Institutiones》节选

欧拉变换以正项序列开始:

a0 = 1,
a1 = 2,
a2 = 4,
a3 = 8, ….

前向差分序列是

Δa0 = a1a0 = 2 − 1 = 1,
Δa1 = a2a1 = 4 − 2 = 2,
Δa2 = a3a2 = 8 − 4 = 4,
Δa3 = a4a3 = 16 − 8 = 8, …,

这一序列与上一序列正好相同。因此对於每一n,迭代前向差分序列均以Δna0 = 1开始。级数的欧拉变换如下:

\frac{a_0}{2}-\frac{\Delta a_0}{4}+\frac{\Delta^2 a_0}{8}-\frac{\Delta^3 a_0}{16}+\cdots = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots.

上述级数是一收敛等比级数,按常规求和公式得出其和为⅓。

博雷尔和[编辑]

1 − 2 + 4 − 8 + …博雷尔和也是 ⅓;博雷尔于1896年介绍了博雷尔和极限的公式,这是他在关于1 − 1 + 1 − 1 + …[7]后的首个实例之一。

注釋[编辑]

  1. ^ Leibniz pp.205-207; Knobloch pp.124-125. 引自《De progressionibus intervallorum tangentium a vertice》,拉丁语原文:“Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito.”
  2. ^ Ferraro and Panza,第21页
  3. ^ 沃尔夫第一次对信件的引用是发表在《Acta Eruditorum》的来自德国哈雷的一封信中,日期为1712年6月12日;Gerhardt,第143-146页。
  4. ^ 引言是Moore的解释(第2-3页);出自Gerhardt pp.147-148莱布尼兹的信,日期为1712年7月13日,来自汉诺威
  5. ^ Euler p.234
  6. ^ 参见Korevaar p.325
  7. ^ Smail p. 7.

參考資料[编辑]