发散级数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

发散级数指(按柯西意义下)不收敛级数。如级数1 + 2 + 3 + 4 + \cdots1 - 1 + 1 - 1 + \cdots

但在实际的数学研究及物理等其它学科的应用中,經常需对发散级数进行运算,于是数学家们便给发散级数定义各种不同的“和”,如切萨罗和,阿贝尔和,欧拉和等,使对收敛级数求得的这些和仍然不变,而对某些发散级数,这种和仍然存在。

各种求和法[编辑]

切萨罗和[编辑]

对于级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n,令s_n = a_1 + \cdots + a_n为它的部分和,而t_n = \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n}。如果t_n \rightarrow s,则称这个级数的切萨罗和为s。

阿贝尔和[编辑]

如果幂级数\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n|x|<1收敛,并且\lim_{x \rightarrow 1^- }\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = s,则称级数\sum_{n=0}^{\infty}a_n的阿贝尔和为s。

Ramanujan求和约定[编辑]

如果指数母函数\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-nz}的收敛区域非空,且它可以解析延拓复平面上的亚纯函数,它的洛朗级数的零次系数就等于级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n的Ramanujan和[1]

例如,我们有以下级数的Ramanujan和:

1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac{1}{12}(\Re).
1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = -\frac{1}{2}(\Re).
1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}{2}(\Re).

参考文献[编辑]

Divergent Series by G. H. Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949

引用[编辑]

  1. ^ Candelpergher, B., H. Gopalkrishna Gadiyar, and R. Padma, [1], Ramanujan summation and the exponential generating function \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!}\zeta^{\prime}(-k)., The Ramanujan Journal,21, no. 1 (2010): pp. 99-122.