拉馬努金求和

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拉馬努金求和英语:Ramanujan summation)是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧,指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統的的概念,其在探討發散級數上極有用處;因為在此情形下,傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析量子力學弦理論等領域。

求和法[编辑]

拉馬努金求和法本質上是部分和的性質,而非整個數列級數和性質,後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則,可得:

拉馬努金寫道:[1]p趨近於無限大,

其中C是此級數的特定常數,然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較,並假設R趨近於0,而x趨近於無限大;當一函數 f(x) 在x = 0不發散:

其中拉馬努金假設。若設,可得到尋常收斂級數的求和式。當一函數 f(x) 在x = 1不發散,可得:

C(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。

發散級數的和[编辑]

下文中,表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本,筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。

舉例來說,1 - 1 + 1 - 1 + ⋯為:

拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念[2][3],亦即部分和不會收斂到這個值。

又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉馬努金和

延伸至正偶數冪,可得:

而奇數冪的結果則與白努利數有關:

目前有提議採用C(1)取代C(0)作為拉馬努金求和的結果,以其可保證一個級數允許唯一的拉馬努金求和結果。[4]

如此拉馬努金求和的定意(標作)與早期拉馬努金求和C(0)不相同,也與收斂級數求和的結果不相同;但其帶有有趣的性質:若R(x)趨近於一個有限值極限,當x → +1,則此級數是收斂的,而可得

特別是如下例子:

其中γ歐拉-馬斯刻若尼常數

拉馬努金求和可以延伸至積分:舉例來說,運用歐拉-麥克勞林求和公式可寫出

此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。

迭代方程式為有限的,因為當

其中

(參見:黎曼ζ函數正規化英语Zeta function regularization。)

要是,拉馬努金求和可以應用在量子場論重整化方法,得到有限值的結果。

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks 互联网档案馆存檔,存档日期2006-10-12., Ramanujan's Theory of Divergent Series, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
  2. ^ The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. [20 January 2014]. 
  3. ^ Infinite series are weird. [20 January 2014]. 
  4. ^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.