等比数列

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等比数列,又名几何数列(英文:geometric sequence 或 geometric progression),是数列的一种。在等比数列中,任何相邻两项的比例相等,该比值称为公比(common ratio)。

例如数列:

就是一个等比数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公比都等于

性质[编辑]

如果一个等比数列的首项记作,公比记作,那么该等比数列第的一般项为:

换句话说,任意一个等比数列都可以写成


在一个等比数列中,给定任意两相连项(其中),可知公比

给定任意两项,则有公比

这里注意,若偶数,则公比可取此结果的正值或负值。


此外,在一个等比数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之积,为原来该项的平方。举例来说,

更一般地说,有:

证明如下:

证毕。


从另一个角度看,等比数列中的任意一项,是其前一项和后一项的几何平均

此结果从上面直接可得。


如果有整数,使得 ,那么则有:

证明如下:


由此可将上面的性质一般化成:

其中是一个小于的正整数。


给定一个等比数列 ,则有:

  • 是一个等比数列。
  • 是一个等比数列。
  • 是一个等差数列


从等比数列的一般项可知,任意一个可以写成

形成的数列,都是一个等比数列,其中公比,首项

等比数列和[编辑]

一个等比数列的首项之和,称为等比数列和(sum of geometric sequence)或几何级数(geometric series),记作

举例来说,等比数列的和是


等比数列求和的公式如下:

其中


公式证明如下:

将等比数列和写作以下形式:

……(1)

将两边同乘以公比 r,有:

……(2)

(1)式减去(2)式,有:

时,整理后得证。

时,可以发现:


综上所述,等比数列的求和公式为:


时,注意到

因此,我们可得无限项之和(sum to infinity)的公式为

由此可见,当时,几何级数会收敛到一个固定值。

等比数列积[编辑]

一个等比数列的首 n 项之积,称为等比数列积(product of geometric sequence),记作 Pn

举例来说,等比数列的积是


等比数列求积的公式如下:

证明如下:

最后一步,使用了等差数列的求和公式。

参见[编辑]

参考文献[编辑]