求和符号

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求和符号Σ,sigma),是欧拉于1755年首先使用的。这个符号是源于希腊文σογμαρω(增加)的字头,Σ正是σ的大写。求和的结果是給定的數值相後的總值,又稱加總

舉例而言,若有4個數值:1、3、5、7,則這4個數值的總和為:

擴展為數學的一般式:若有個數值,則此個數值的總和為:

上式的等號右段在數學上常簡潔地寫為:

求和方法[编辑]

  1. 裂項法:利用求出
  2. 錯位相減法:透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
  3. 倒序求和:對於有對稱中心的函數首尾求和[1][2]
  4. 逐項求導:可從推導出[3]
  5. 阿貝爾變換

常見的總和公式[编辑]

  • 三角形數
  • 正方形數
  • 調和級數

數列求和公式[编辑]

  • 若0 < |x| < 1,則

其他數列求和公式[编辑]

以下設p為多項式,

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是對一個多項式求和,自然數方冪和、等幂求和、等差數列求和都屬于對多項式求和。

  • 帕斯卡矩陣形式
    [4]
  • 差分變換形式
    [5]

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為多項式,易求高階導數時,有封閉型和式

[6]
  • 有限和有封閉型和式
    當p為常數時,是對等比數列求和,當p為一次多項式時,是對差比數列求和。
    [7]
  • [8]

組合數求和公式[编辑]

定積分判斷總和界限[编辑]

在[a,b]單調遞增時:

在[a,b]單調遞減時:

[9]

求和函数[编辑]

为例:

syms k n;symsum(k^9,k,1,n)
 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:= 

参考资料[编辑]

  1. ^ 马志钢. 倒序求和几例. 中学生数学. 2006, (5). 
  2. ^ 郭子伟. 高中基础数列知识微型整理. 数学空间. 2011, (1): 第11页. 
  3. ^ 吴炜超. 数列{n^m.k^n}的求和方法. 数学空间. 2011, (7): 第38–39页. 
  4. ^ 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7). 
  5. ^ Károly Jordán. Calculus of Finite Differences. 
  6. ^ Murray Spiegel. Schaum's Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations. 
  7. ^ 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7). 
  8. ^ 刘治国. 一类指数型幂级数的求和. 抚州师专学报. 1994, (01): 第65–66页. 
  9. ^ 吴炜超. 数列不等式的定积分解法. 数学空间. 2011, (5): 第23–26页.