求和符号

求和符号（Σ，sigma），是欧拉于1755年首先使用的。这个符号是源于希腊文σογμαρω（增加）的字头，Σ正是σ的大写。求和的结果是給定的數值相加後的總值，又稱加總。

舉例而言，若有4個數值：1、3、5、7，則這4個數值的總和為：

16 = 1 + 3 + 5 + 7

擴展為數學的一般式：

若有n個數值x₁、x₂、...、x_n，則此n個數值的總和為：

Σ = x₁ + x₂ + ... + x_n

上式的等號右段在數學上常簡潔地寫為：

$\sum^{n}_{i=1} x_i$

求和方法

1. 裂項法：例如$a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
2. 錯位相減法：適用於通項為等比和等差通項之積形式的數列求和。
3. 配對法：適合某些正負相間型的數列。
4. 逐項求導：可從$\displaystyle \sum_{k=0}^n x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$推導出$\displaystyle \sum_{k=0}^n k^m x^k$
5. 倒序求和：對於有對稱中心的函數$f(x)+f(2a-x)=2b$首尾求和

常見的總和公式

等冪和公式

• 三角形數：$\sum^{n}_{i=1} i = \frac{n(n+1)}{2}$
• 正方形數：$\sum_{i=1}^{n} (2i - 1) = n^2$
• 調和級數：$\sum_{n=1}^k\,\frac{1}{n} \;=\; \ln k + \gamma + \varepsilon_k$

數列求和公式

• $\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}$

• $\sum_{i=0}^{n} x^{i} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$
• 若0 < |x| < 1，則

$\sum_{i=0}^{\infty} x^{i} = \frac{1}{1-x}$

組合數求和公式

• $\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}$
• $\sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2} = \binom {k_1+n+1}{k_2+1} - \binom {k_1+m}{k_2+1}$
• $\sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2+i} = \binom {k_1+n+1}{k_2+n} - \binom {k_1+m}{k_2+m-1}$

判斷總和界限

當$f(x)$在[a,b]為單調函數時，

$f(a) + \int_a^b f(x) dx$；

$f(b) + \int_a^b f(x) dx$

為$\sum_{x=a}^{b} f(x)$的上界和下界。

求和函数

以$\sum_{i=1}^n i^9$为例：

• Matlab

syms S n;
S=factor(symsum((n+1)^9))

• Mathematica

 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:= $\frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+3\right)$