交错级数判别法

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交错级数审敛法是证明无穷级数收敛的一种方法.该方法最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现,因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法莱布尼茨准则

具有以下形式的级数

其中所有的an 非负,被称作交错级数.如果当n趋于无穷时,数列an的极限存在且等于0,并且每个an小于或等于an-1(即,数列an单调递减的),那么级数收敛.如果L是级数的和

那么部分和

逼近L有截断误差

证明[编辑]

我们假设级数具有形式.当趋于无穷时,数列的极限等于0,并且每个 小于或等于(即单调递减数列).[1]


收敛性证明[编辑]

给定数列前(2n+1)项的部分和.由于每个括号内的和非正,并且,那么前 (2n+1)项的部分和不大于.

并且每个部分和可写做.每个括号内的和非负.因此,级数单调递增:对任何均有:.

结合以上两段论述,由单调收敛定理可得,存在数s使得 .

由于并且,那么.给定数列的和为,其中为有限数,从而数列收敛.

部分和截断误差的证明[编辑]

在收敛性的证明过程中,我们发现是单调递增的.由于,并且括号中的每一项是非正的,这样可知是单调递减的.由先前的论述,,因此.类似的,由于是单调递增且收敛到,我们有.因此我们有对所有的n均成立.

因此如果k是奇数我们有,而如果k是偶数我们有

参阅[编辑]

图书资料[编辑]

  • Knopp,Konrad,"Infinite Sequences and Series",Dover publications,Inc.,New York,1956.(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker,E.T.,and Watson,G.N.,A Course in Modern Analysis,fourth edition,Cambridge University Press,1963.(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3
  • Last,Philip,"Sequences and Series",New Science,Dublin,1979.(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3

参考文献[编辑]

  1. ^ Beklemishev, Dmitry V. Analytic geometry and linear algebra course 10. FIZMATLIT. 2005.