交错级数判别法

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交错级数审敛法是证明无穷级数收敛的一种方法.该方法最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现,因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法莱布尼茨准则

具有以下形式的级数

其中所有的 an 非负,被称作交错级数.如果当 n 趋于无穷时,数列 an 的极限存在且等于 0 ,并且每个 an 小于或等于 an-1 (即,数列 an单调递减的),那么级数收敛.如果 L 是级数的和

那么部分和

逼近 L 有截断误差

证明[编辑]

我们假设级数具有形式 .当 趋于无穷时,数列 的极限等于 0,并且每个 小于或等于 (即 单调递减数列).[1]


收敛性证明[编辑]

给定数列前(2n+1)项的部分和 .由于每个括号内的和非正,并且 ,那么前 (2n+1)项的部分和不大于 .

并且每个部分和可写做 .每个括号内的和非负.因此,级数 单调递增: 对任何 均有: .

结合以上两段论述,由单调收敛定理可得,存在数 s 使得 .

由于 并且 ,那么 .给定数列的和为 ,其中 为有限数,从而数列收敛.

部分和截断误差的证明[编辑]

在收敛性的证明过程中,我们发现 是单调递增的.由于 ,并且括号中的每一项是非正的,这样可知 是单调递减的.由先前的论述,,因此 .类似的,由于 是单调递增且收敛到 ,我们有 .因此我们有 对所有的 n 均成立.

因此如果 k 是奇数我们有 ,而如果 k 是偶数我们有

参阅[编辑]

图书资料[编辑]

  • Knopp,Konrad,"Infinite Sequences and Series",Dover publications,Inc., New York,1956.(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker,E.T.,and Watson,G.N.,A Course in Modern Analysis,fourth edition,Cambridge University Press,1963.(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3
  • Last,Philip,"Sequences and Series",New Science, Dublin,1979.(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3

参考文献[编辑]

  1. ^ Beklemishev, Dmitry V. Analytic geometry and linear algebra course 10. FIZMATLIT. 2005.