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交錯級數判別法

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交錯級數審斂法(Alternating series test)是證明無窮級數收斂的一種方法,最早由戈特弗里德·萊布尼茨發現,因此該方法通常也稱為萊布尼茨判別法萊布尼茨準則

具有以下形式的級數

其中所有的an 非負,被稱作交錯級數,如果當n趨於無窮時,數列an的極限存在且等於0,並且每個an小於或等於an-1(即,數列an單調遞減的),那麼級數收斂.如果L是級數的和

那麼部分和

逼近L有截斷誤差

證明

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我們假設級數具有形式.當趨於無窮時,數列的極限等於0,並且每個 小於或等於(即單調遞減數列).[1]

收斂性證明

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給定數列前 項的部分和 .由於每個括號內的和非正,並且 ,那麼前 項的部分和不大於 .

並且每個部分和可寫做 .每個括號內的和非負.因此,級數 單調遞增:對任何 均有:.

結合以上兩段論述,由單調收斂定理可得,存在數 使得 .

由於 並且 ,那麼 .給定數列的和為 ,其中 為有限數,從而數列收斂.

部分和截斷誤差的證明

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在收斂性的證明過程中,我們發現是單調遞增的.由於,並且括號中的每一項是非正的,這樣可知是單調遞減的.由先前的論述,,因此.類似的,由於是單調遞增且收斂到,我們有.因此我們有對所有的n均成立.

因此如果k是奇數我們有,而如果k是偶數我們有

參閱

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圖書資料

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  • Knopp,Konrad,"Infinite Sequences and Series",Dover publications,Inc.,New York,1956.(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker,E.T.,and Watson,G.N.,A Course in Modern Analysis,fourth edition,Cambridge University Press,1963.(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3
  • Last,Philip,"Sequences and Series",New Science,Dublin,1979.(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3

參考文獻

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  1. ^ Beklemishev, Dmitry V. Analytic geometry and linear algebra course 10. FIZMATLIT. 2005.