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采样定理

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图1:带宽限制的函数的傅里叶变换的模

数字信号处理领域,采样定理连续信号(通常称作“模拟信号”)与离散信号(通常称作“数字信号”)之间的一个基本桥梁。它确定了信号带宽的上限,或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。

严格地说,定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数,即频率在有限区域以外为零(参照图1)。离散时间傅里叶变换泊松求和公式英语Poisson summation formula的一种形式)提供了实际信号的解析延拓,但只能近似该条件。直观上我们希望,当把连续函数化为采样值(叫做样本)的离散序列并插值到连续函数中,结果的保真度取决于原始采样的密度(或采样率)。采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念;在采样过程中"信息"实际没有损失。定理用函数的带宽来表示采样率。定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。

该定理没有排除一些并不满足采样率准则的特殊情况下完整重构的可能性。(参见下文非基带信号采样,以及壓縮感知。)

奈奎斯特–香农采样定理的名字是为了纪念哈里·奈奎斯特克劳德·香农。该定理也被E. T. WhittakerVladimir Kotelnikov等人独立发现。所以它还叫做奈奎斯特–香农–科特尔尼科夫定理惠特克–香农–科特尔尼科夫定理惠特克–奈奎斯特–科特尔尼科夫–香农定理插值基本定理

简介[编辑]

采样是将一个信号(即时间或空间上的连续函数)转换成一个数值序列(即时间或空间上的离散函数)。采样定理指出,

   如果信号是带限的,并且采样频率大于信号带宽的2倍,那么,原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制,也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指,如果信号带宽小于奈奎斯特频率(即采样频率的二分之一),那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠,混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

信号处理的角度来看,此采样定理描述了两个过程:其一是采样,这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号;其二是信号的重建,这一过程离散信号还原成连续信号。

图2:归一化的Sinc函数:sin(πx) / (πx) ... 在 x= 0 出表现出中心峰值,而在 x 取其他整数值时为过零点。

连续信号在时间(或空间)上以某种方式变化着,而采样过程则是在时间(或空间)上,以T为单位间隔来测量连续信号的值。T称为采样间隔。在实际中,如果信号是时间的函数,通常他们的采样间隔都很小,一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字,称为样本样本代表了原来的信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点,而采样间隔的倒数,1/T即为采样频率fs,其单位为样本/秒,即赫兹(hertz)。

信号的重建是对样本进行插值的过程,即,从离散的样本x[n]中,用数学的方法确定连续信号x(t)。

从采样定理中,我们可以得出结论:

  • 如果已知信号的最高频率fH,采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率奈奎斯特频率,通常表示为fN
  • 相反,如果已知采样频率,采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。
  • 以上两种情况都说明,被采样的信号必须是带限的,即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零,或至少非常接近于零,这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。在第一种情况下,被采样信号的频率成分已知,比如声音信号,由人类发出的声音信号中,频率超过5 kHz的成分通常非常小,因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。在第二种情况下,我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常是用一个低通滤波器来实现的。

混叠[编辑]

thumb某一個被取樣訊號頻譜(藍色)和取樣訊號頻譜(綠)彼此間無交疊   "brick-wall"低通濾波器可移去因取樣所產生的鏡像頻率,只留下被取樣訊號,藉由此做法可還原出原始的訊號(也就是取樣前的原始訊號).

如果不能满足上述采样条件,采样后信号的频率就会重叠,即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠,而重建出来的信号称为原信号的混叠替身,因为这两个信号有同样的样本值。

一个频率正好是采样频率一半的弦波信号,通常会混叠成另一相同频率的波弦信号,但它的相位和振幅改变了

以下两种措施可避免混叠的发生:

  1. 提高采样频率,使之达到最高信号频率的两倍以上;
  2. 引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数;该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器

抗混叠滤波器可限制信号带宽,使之满足采样定理的条件。从理论上来说,这是可行的,但是在实际情况中是不可能做到的。因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号,所以,采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小,以至可忽略不计。

减采样[编辑]

当一个信号被减采样时,必须满足采样定理以避免混叠。为了满足采样定理的要求,信号在进行减采样操作前,必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。这个用于避免混叠的低通滤波器,称为抗混叠滤波器

參考資料[编辑]

  • E. T. Whittaker, "On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory," Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec. A, vol.35, pp.181-194, 1915
  • H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory," Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617-644, Apr. 1928.
  • V. A. Kotelnikov, "On the carrying capacity of the ether and wire in telecommunications," Material for the First All-Union Conference on Questions of Communication, Izd. Red. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, 1933 (Russian).
  • C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise", Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10-21, Jan. 1949.

外部連結[编辑]