線性關係

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在现代学术界中,線性關係一詞存在2种不同的含义。其一,若某數學函數或数量关系的函数图形呈現為一條直線或線段,那么这种关系就是一种線性的關係。其二,在代数学和数学分析学中,如果一种运算同时满足特定的“加性”和“齐性”,则称这种运算是线性的。

定义[编辑]

如果稱一個数学函數L(x)為線性的,可以是指:

  • 定义1:L(x)是個只擁有一個變數的一階多項式函數,即是可以表示為L(x) = kx + b 的形式(其中kb常数)。
  • 定义2:L(x)具有以下兩個性質:
    • 可加性:L(x+t) = L (x)+L (t)
    • 一次齊次性:L (mx) = mL (x)

需要注意这2种定义分别描述的是2类不同的事物。研究高等数学的数学家一般只认定义2,但初等数学和许多非数学学科的书籍会习惯把定义1当作线性关系的概念(有的没有明确给出定义,但确是如此理解和使用的)。这种术语间的细微差异如果不注意的话,就容易引起混淆。

定义1的定义动机是把函数图像为直线的数量关系称作线性的关系。从这种几何意义出发,定义1本来不具有对多元函数进行推广的必要,因为形如f(x_1,x_2,...,x_2) = k_1*x_1 + k_2*x_2 + ... + k_n*x_n + b的函数(其中各个k_ib均為常数)的图形根本不是直线,而是平面或超平面,因此也就谈不上“线”性了。但还是有这种做法出现,如有“多元线性方程组”的叫法(叫“多元超平面方程组”可能更合适)。

例子[编辑]

  • 按照定义1,一次函数描述的都是不同变量间的线性的数量关系。而高次函数描述的都不是线性的数量关系。比如y_1=3xy_2=\tfrac{1}{3}xy_3=3x+1都属于这种意义下的线性函数,但y_4=x^2y_5=x+zy_6=x+z+2y_7=xz则不是。(如果认可将能这种意义下的“线性”概念推广到多元函数,则y_6也能算。)
  • 而按照定义2,若以一元函数为例,则截距为0的一次函数(即正比例函数)属于线性函数,但截距不为0的一次函数不属于线性函数。又如y_1=3xy_2=\tfrac{1}{3}xy_5=x+z都属于这种意义下的线性函数,但y_3=3x+1y_4=x^2y_6=x+z+2y_7=xz都不是。

數學[编辑]

初等数学中(主要是与方程组一次函数有关的理论),使用的是定义1。

但在高等数学(尤其是纯数学)中所说的线性一般是用定义2来给出定义。如对线性相关线性变换的定义。但初等数学中有关“线性”的一些习惯术语也然在高等数学沿用。

物理[编辑]

在物理学中,线性的2种含义都有出现。“线性”如果是源于形容图像的形状,则其含义按定义1理解。比如线性元件的概念。一般在需要作图的实验物理学中会经常遇到这种含义。“线性”如果是涉及数学分析学(比如说高等线性代数(即线性泛函分析)或微分方程理论)的概念,则其含义按定义2理解。一般在用到较多高深数学的理论物理学中会经常遇到这种含义。

另見[编辑]

参考资料[编辑]