ARMA模型

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自回归滑动平均模型英语Autoregressive moving average model,簡稱:ARMA模型)。是研究时间序列的重要方法,由自迴歸模型(简称AR模型)与滑动平均模型英语Moving-average model(简称MA模型)为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究,如:Panel研究中,用于消费行为模式变迁研究;在零售研究中,用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

自回归AR(p)模型[编辑]

 X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t .\,

自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。

滑动平均MA(q)模型[编辑]

 X_t = \mu + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,

滑动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。

ARMA(p,q)模型[编辑]

ARMA(p,q)模型中包含了p個自回归项和q個移动平均项,ARMA(p,q)模型可以表示为:

 X_t = \mu_t +  \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{j=0}^q \theta_j \varepsilon_{t-j} \

ARMA滞后算子表示法[编辑]

有时ARMA模型可以用滞后算子(Lag operator)L 来表示,L^i X_t = X_{t-i}。这样AR(p)模型可以写成为:

 \varepsilon_t = \left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t =  \varphi(L) X_t\,

其中φ 表示多项式

 \varphi(x) = 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i x^i \,

MA(q)模型可以写成为:

 X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t = \theta(L) \varepsilon_t\,

其中θ 表示多项式

 \theta(x)= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i x^i \,

最后,ARMA(p,q)模型可以表示为:

 \left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t\,

或者

 \varphi(L) X_t = \theta(L) \varepsilon_t.\,

\varphi(L)=1,则ARMA过程退化为MA(q)过程 若\theta(L)=1,则ARMA过程退化为AR(p)过程。

相關條目[编辑]