ARMA模型 (英語:A utor egressive m oving a verage model ,全稱:自我迴歸滑動平均模型 )。是研究時間序列 的重要方法,由自迴歸模型 (簡稱AR模型)與移動平均模型 (簡稱MA模型)為基礎「混合」構成。在市場研究中常用於長期追蹤資料的研究,如:Panel研究 中,用於消費行為模式變遷研究;在零售研究中,用於具有季節變動特徵的銷售量、市場規模的預測等。
X
t
=
c
+
∑
i
=
1
p
φ
i
X
t
−
i
+
ε
t
.
{\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,}
自回歸模型描述的是當前值與歷史值之間的關係。
其中:
c
{\displaystyle c}
是常數 項;
ε
t
{\displaystyle \varepsilon _{t}}
被假設為平均數 等於0,標準差 等於
σ
{\displaystyle \sigma }
的隨機 誤差值;
ε
t
{\displaystyle \varepsilon _{t}}
被假設為對於任何的
t
{\displaystyle t}
都不變。
X
t
=
μ
+
ε
t
+
∑
i
=
1
q
θ
i
ε
t
−
i
{\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,}
移動平均模型描述的是自回歸部分的誤差累計。
其中 μ 是序列的均值,θ 1 ,..., θ q 是參數,ε t , ε t -1 ,..., ε t −q 都是 白噪聲 。
ARMA(p ,q )模型中包含了p 個自回歸項和q 個移動平均項,ARMA(p ,q )模型可以表示為:
X
t
=
c
+
ε
t
+
∑
i
=
1
p
φ
i
X
t
−
i
+
∑
j
=
1
q
θ
j
ε
t
−
j
{\displaystyle X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}\theta _{j}\varepsilon _{t-j}\ }
有時ARMA模型可以用滯後算子(Lag operator)
L
{\displaystyle L}
來表示,
L
i
X
t
=
X
t
−
i
{\displaystyle L^{i}X_{t}=X_{t-i}}
。這樣AR(p )模型可以寫成為:
ε
t
=
(
1
−
∑
i
=
1
p
φ
i
L
i
)
X
t
=
φ
(
L
)
X
t
{\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}
其中
φ
{\displaystyle \varphi }
表示多項式
φ
(
L
)
=
1
−
∑
i
=
1
p
φ
i
L
i
{\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}
MA(q )模型可以寫成為:
X
t
=
(
1
+
∑
i
=
1
q
θ
i
L
i
)
ε
t
=
θ
(
L
)
ε
t
{\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}
其中θ 表示多項式
θ
(
L
)
=
1
+
∑
i
=
1
q
θ
i
L
i
{\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,}
最後,ARMA(p ,q )模型可以表示為:
(
1
−
∑
i
=
1
p
φ
i
L
i
)
X
t
=
(
1
+
∑
i
=
1
q
θ
i
L
i
)
ε
t
{\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}
或者
φ
(
L
)
X
t
=
θ
(
L
)
ε
t
.
{\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.\,}
若
φ
(
L
)
=
1
{\displaystyle \varphi (L)=1}
,則ARMA過程退化為MA(q)過程
若
θ
(
L
)
=
1
{\displaystyle \theta (L)=1}
,則ARMA過程退化為AR(p)過程。