在訊號處理 及控制理論 中,有界輸入有界輸出穩定性 簡稱BIBO穩定性 ,是一種針對有輸入訊號線性系統 的穩定性 。BIBO是「有界輸入有界輸出」(Bounded-Input Bounded-Output)的簡稱,若系統有BIBO穩定性,則針對每一個有界的輸入,系統的輸出也都會有界,不會發散到無限大。
對於訊號 若存在有限的定值
B
>
0
{\displaystyle B>0}
使得訊號的振幅不會超過
B
{\displaystyle B}
,則此訊號為有界的,也就是說
|
y
[
n
]
|
≤
B
∀
n
∈
Z
{\displaystyle \ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z} }
針對離散訊號,或
|
y
(
t
)
|
≤
B
∀
t
∈
R
{\displaystyle \ |y(t)|\leq B\quad \forall t\in \mathbb {R} }
針對連續訊號
針對連續時間的線性非時變 (LTI)系統,BIBO穩定性的條件是脈波響應 需為絕對可積分,也就是存在L1 範數
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty }
針對離散時間的線性非時變系統,BIBO穩定性的條件是脈波響應 需為絕對可積分,也就是存在L1 範數
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }
假設離散時間的線性非時變系統,其脈波響應
h
[
n
]
{\displaystyle \ h[n]}
和輸入
x
[
n
]
{\displaystyle \ x[n]}
和輸出
y
[
n
]
{\displaystyle \ y[n]}
之間會有以下的關係:
y
[
n
]
=
h
[
n
]
∗
x
[
n
]
{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}
其中
∗
{\displaystyle *}
為卷積
則依卷積的定義:
y
[
n
]
=
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
k
]
x
[
n
−
k
]
{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}
令
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }}
為
|
x
[
n
]
|
{\displaystyle \ |x[n]|}
的最大值
|
y
[
n
]
|
=
|
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
n
−
k
]
x
[
k
]
|
{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}
≤
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
|
x
[
k
]
|
{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}
(根據三角不等式 )
≤
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}
=
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}
=
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}
若
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
是絕對可求和,則
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }
且
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
=
‖
x
‖
∞
‖
h
‖
1
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}
因此若
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
是絕對可求和,且
|
x
[
n
]
|
{\displaystyle \left|x[n]\right|}
有界,則因為
‖
x
‖
∞
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty }
,
|
y
[
n
]
|
{\displaystyle \left|y[n]\right|}
也會有界。
連續時間的情形也可以依類似的方式證明。
對於一個有理 的連續時間系統,穩定性的條件是拉普拉斯轉換 的收斂區域 包括複數平面 的虛軸。若系統為因果系統 ,其收斂區域為「最大極點」(實部為最大值的極點)實部垂直線往右的開集 ,定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標 。因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在S平面 的嚴格左半平面(不能在虛軸上)。
可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下:
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
|
e
−
j
ω
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
(
1
⋅
e
)
−
j
ω
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
(
e
σ
+
j
ω
)
−
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
e
−
s
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}}
其中
s
=
σ
+
j
ω
{\displaystyle s=\sigma +j\omega }
,且
Re
(
s
)
=
σ
=
0
{\displaystyle {\mbox{Re}}(s)=\sigma =0}
.
因此收斂區域 必須包括虛軸。
對於一個有理 的離散時間 系統,穩定性的條件是Z轉換 的收斂區域 包括單位圓 。若系統為因果系統 ,其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集 ,因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在Z平面 的單位圓內(不能在單位圓上)。
可以用類似的方式推導穩定性準則:
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
|
e
−
j
ω
n
|
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
(
1
⋅
e
)
−
j
ω
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
(
r
e
j
ω
)
−
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
z
−
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}
其中
z
=
r
e
j
ω
{\displaystyle z=re^{j\omega }}
,且
r
=
|
z
|
=
1
{\displaystyle r=|z|=1}
因此收斂區域 必須包括單位圓 。
Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
Proof of the necessary conditions for BIBO stability. (頁面存檔備份 ,存於網際網路檔案館 )
Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577