初始條件

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

数学以及动力系统中,初始條件(initial condition),有時也稱為種子值(seed value)[1]:pp. 160,是系統未知變數在初始時間(一般表示為t = 0)下的值。考慮以下的初值問題,其中的即為初值條件。

針對k微分方程系統(若在離散時間系統下,是時間延遲的次數,若是連續時間系統,則是微分的總次數),其维数n(表示有n個變數,也可以組成n維的向量),一般會需要nk個初始條件,才能完整的追蹤系統的變數。

在連續時間下的微分方程或是離散時間下的遞迴關係式中,初始條件都會影響後續時間的變數值。若是連續時間系統,針對一動力系統以及其初始條件,要求得其狀態變數相對時間函數的解析解,稱為初值問題。離散系統中也有對應的問題。若無法求得解析解,可能會用迭代的方式,逐步計算各變數在不同時間下的值,不過因為誤差的關係,在長時間後,數值偏差可能會越來越大。

線性系統[编辑]

離散時間[编辑]

線性齊次矩陣差分方程英语matrix difference equation(沒有常數項),型式為的差分方程,有解析解,其中的向量是個別變數初始始組成的向量。可以稱為初始條件向量,或稱為初始條件,其中包括有nk個資訊,n是向量X的維度,而k = 1是系統的時間延遲次數。線性系統的初始條件不會影響狀態變數未來行為的特性,此系統是否穩定是由矩陣A的特徵值所決定,不是依初始條件決定。

一個由單一變數以及多數時間延遲組成的系統如下

此處的維度n = 1,階數為k,因此要追蹤此系統特性,需要的初始條件個數為nk = k。其初始條件不會影響變數長期演進的特性。方程式的解是由特徵方程式的根決定,所得的是等特徵值,用在以下解的方程式中

其中的常數可以以此方程來求解k個差分方程後,考慮初始條件的結果來求得。

連續時間[编辑]

n個變數的一階微分方程,將變數都放在向量X中,可得

若有初始條件,可以計算不同時間下的數值。需要的初始資訊數量等於系統的維度n乘以系統階數k = 1 of the system,其結果為n。初始條件不會影響系統的穩定性特性。

單一變數xkth階微分方程如下:

需要的初始條件資訊數量為維度n = 1乘以階數k,等於k。此例中的k個初始資訊不是變數x在不同時間下的值,而是在初始時間下的x數值,以及前k – 1階微分的數值。初始條件不會影響系統特性,此系統的特徵方程式為,其解為特徵值,可以用在以下解的方程式中

其中的常數可以以此方程來求解k個微分方程後,考慮初始條件的結果來求得。

非線性系統[编辑]

非線性系統特性上的變化會比線性系統要多,因著初始條件的不同,系統可能會發散到無限大,也可能會收斂到系統的吸引子中。每個吸引子(是指一些狀態變數進入此區域後,就不會離開的區域)會有一個(可能不連續的)吸引區域(basin of attraction),若初始條件在此區域內,最後就會往吸引子前進。就算初始條件有少量變化,也有可能會由某一吸收子的吸引區域,進到另一吸收子的吸引區域,像牛顿法在一些情形下就有這類對初始條件很靈敏的特性。

若是有混沌理论的非線性系統,變數的變化會出現蝴蝶效应:同一個奇異吸引子內兩個很鄰近的點,在隨時間變化後,仍在奇異吸引子內,但兩點的軌跡會隨時間慢慢發散。因此在單一的奇異吸引子上,其初始條件的精確值會造成後續軌跡的顯著差異。因此很難進行準確的仿真,若要長時間的仿真更是不可能,因為很少有機會可以讓初始條件的數值完全精準,就算初始條件可以完全精準,在幾次迭代後就會出現捨入誤差。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ Baumol, William J. Economic Dynamics: An Introduction 3rd. London: Collier-Macmillan. 1970. ISBN 0-02-306660-1.  已忽略未知参数|url-access= (帮助)