初始条件

在数学以及动力系统中，初始条件（initial condition），有时也称为种子值（seed value），是系统未知变数在初始时间（一般表示为t = 0）下的值。考虑以下的初值问题，其中的$y(0)=19$和$y(0)=3$即为初值条件。

$y'=0.85y,\qquad y(0)=19$

${\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3$

针对k阶微分方程系统（若在离散时间系统下，是时间延迟的次数，若是连续时间系统，则是微分的总次数），其维数为n（表示有n个变数，也可以组成n维的向量），一般会需要nk个初始条件，才能完整的追踪系统的变数。

在连续时间下的微分方程或是离散时间下的递回关系式中，初始条件都会影响后续时间的变数值。若是连续时间系统，针对一动力系统以及其初始条件，要求得其状态变数相对时间函数的解析解，称为初值问题。离散系统中也有对应的问题。若无法求得解析解，可能会用迭代的方式，逐步计算各变数在不同时间下的值，不过因为误差的关系，在长时间后，数值偏差可能会越来越大。

线性系统

离散时间

线性齐次矩阵差分方程（没有常数项），型式为$X_{t+1}=AX_{t}$的差分方程，有解析解$X_{t}=A^{t}X_{0}$，其中的向量$X_{0}$是个别变数初始始组成的向量。$X_{0}$可以称为初始条件向量，或称为初始条件，其中包括有nk个资讯，n是向量X的维度，而k = 1是系统的时间延迟次数。线性系统的初始条件不会影响状态变数未来行为的特性，此系统是否稳定是由矩阵A的特征值所决定，不是依初始条件决定。

一个由单一变数以及多数时间延迟组成的系统如下

$x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.$

此处的维度n = 1，阶数为k，因此要追踪此系统特性，需要的初始条件个数为nk = k。其初始条件不会影响变数长期演进的特性。方程式的解是由特征方程式$\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0$的根决定，所得的是$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},$等特征值，用在以下解的方程式中

$x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.$

其中的常数$c_{1},\dots ,c_{k}$可以以此方程来求解k个差分方程后，考虑初始条件的结果来求得。

连续时间

有n个变数的一阶微分方程，将变数都放在向量X中，可得

${\frac {dX}{dt}}=AX.$

若有初始条件$X_{0}$，可以计算不同时间下的数值。需要的初始资讯数量等于系统的维度n乘以系统阶数k = 1 of the system，其结果为n。初始条件不会影响系统的稳定性特性。

单一变数x的k^th阶微分方程如下：

${\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.$

需要的初始条件资讯数量为维度n = 1乘以阶数k，等于k。此例中的k个初始资讯不是变数x在不同时间下的值，而是在初始时间下的x数值，以及前k – 1阶微分的数值。初始条件不会影响系统特性，此系统的特征方程式为$\lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,$，其解为特征值$\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};$，可以用在以下解的方程式中

$x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.$

其中的常数$c_{1},\dots ,c_{k}$可以以此方程来求解k个微分方程后，考虑初始条件的结果来求得。

非线性系统

非线性系统特性上的变化会比线性系统要多，因著初始条件的不同，系统可能会发散到无限大，也可能会收敛到系统的吸引子中。每个吸引子（是指一些状态变数进入此区域后，就不会离开的区域）会有一个（可能不连续的）吸引区域（basin of attraction），若初始条件在此区域内，最后就会往吸引子前进。就算初始条件有少量变化，也有可能会由某一吸收子的吸引区域，进到另一吸收子的吸引区域，像牛顿法在一些情形下就有这类对初始条件很灵敏的特性。

若是有混沌理论的非线性系统，变数的变化会出现蝴蝶效应：同一个奇异吸引子内两个很邻近的点，在随时间变化后，仍在奇异吸引子内，但两点的轨迹会随时间慢慢发散。因此在单一的奇异吸引子上，其初始条件的精确值会造成后续轨迹的显著差异。因此很难进行准确的仿真，若要长时间的仿真更是不可能，因为很少有机会可以让初始条件的数值完全精准，就算初始条件可以完全精准，在几次迭代后就会出现舍入误差。

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